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La fisica y quimica

1.2: Estimaciones de escala y orden de magnitud

c / Galileo Galilei (1564-1642).

Ahora, ¿cómo se relacionan estas conversiones de área y volumen con las preguntas que planteé sobre el tamaño de los seres vivos? Bueno, imagina que estás encogido como Alicia en el país de las maravillas del tamaño de un insecto. Una forma de pensar sobre el cambio de escala es que lo que solía verse como un centímetro ahora te parece quizás un metro, porque eres mucho más pequeño. Si el área y el volumen se escalaran según las expectativas intuitivas e incorrectas de la mayoría de las personas, con (1 text {m} ^ 2 ) igual que 100 ( text {cm} ^ 2 ), entonces no habría razón particular por la cual la naturaleza debería comportarse de manera diferente en su nueva escala reducida. Pero la naturaleza se comporta de manera diferente ahora que eres pequeño. Por ejemplo, descubrirá que puede caminar sobre el agua y saltar muchas veces a su altura. El físico Galileo Galilei tenía la idea básica de que la escala del área y el volumen determina cómo los fenómenos naturales se comportan de manera diferente en diferentes escalas. Primero razonó sobre las estructuras mecánicas, pero luego extendió sus ideas a los seres vivos, adoptando el punto de vista radical de que, en el nivel fundamental, un organismo vivo debería seguir las mismas leyes de la naturaleza que una máquina. Seguiremos su ejemplo discutiendo primero las máquinas y luego los seres vivos.

Galileo sobre el comportamiento de la naturaleza en escalas grandes y pequeñas

Una de las obras científicas más famosas del mundo son los Diálogos de Galileo sobre las dos nuevas ciencias. Galileo era un escritor entretenido que quería explicar las cosas claramente a los laicos, y animó su trabajo al presentarlo en forma de diálogo entre tres personas. Salviati es realmente el alter ego de Galileo. Simplicio es el personaje estúpido, y una de las razones por las que Galileo se metió en problemas con la Iglesia fue que había rumores de que Simplicio representaba al Papa. Sagredo es el estudiante serio e inteligente, con quien el lector debe identificarse. (Los siguientes extractos son de la traducción de 1914 de Crew y de Salvio.)

Sagredo:

Sí, eso es lo que quiero decir; y me refiero especialmente a su última afirmación que siempre he considerado falsa …; a saber, que al hablar de estas y otras máquinas similares no se puede discutir de lo pequeño a lo grande, porque muchos dispositivos que tienen éxito a pequeña escala no funcionan a gran escala. Ahora, dado que la mecánica tiene sus fundamentos en la geometría, donde el simple tamaño [no es importante], no veo que las propiedades de los círculos, triángulos, cilindros, conos y otras figuras sólidas cambien con su tamaño. Por lo tanto, si una máquina grande se construye de tal manera que sus partes tengan entre sí la misma relación que en una más pequeña, y si la más pequeña es lo suficientemente fuerte para el propósito para el que está diseñada, no veo por qué el más grande no debería ser capaz de resistir ninguna prueba severa y destructiva a la que pueda ser sometido.

Salviati contradice a Sagredo:

Salviati:

… Observen, caballeros, cómo los hechos que al principio parecen improbables, incluso en escasez explicación, deje caer la capa que los ha escondido y destaque con una belleza desnuda y simple. ¿Quién no sabe que un caballo que cae desde una altura de tres o cuatro codos se romperá los huesos, mientras que un perro que cae desde la misma altura o un gato desde una altura de ocho o diez codos no sufrirá lesiones? Igualmente inofensivo sería la caída de un saltamontes desde una torre o la caída de una hormiga desde la distancia de la luna.

El punto que Galileo está haciendo aquí es que las cosas pequeñas son más resistentes en proporción a su tamaño. Sin embargo, hay muchas objeciones que podrían plantearse. Después de todo, ¿qué significa realmente que algo sea “fuerte”, que sea “fuerte en proporción a su tamaño” o que sea fuerte “fuera de proporción a su tamaño”? Galileo no ha dado definiciones operativas de cosas como “fuerza”, es decir, definiciones que explican cómo medirlas numéricamente.

Además, un gato tiene una forma diferente a la de un caballo: una fotografía ampliada de un gato no se confundiría con un caballo, incluso si los expertos en fotografía del National Inquirer lo hicieran parecer una persona cabalgaba sobre su espalda. Un saltamontes ni siquiera es un mamífero, y tiene un exoesqueleto en lugar de un esqueleto interno. Todo el argumento sería mucho más convincente si pudiéramos aislar las variables, un término científico que significa cambiar solo una cosa a la vez, aislarlo de las otras variables que podrían tener un efecto. Si el tamaño es la variable cuyo efecto nos interesa ver, entonces realmente no queremos comparar cosas que son diferentes en tamaño pero también diferentes en otras formas.

Salviati:

… preguntamos la razón por la cual [los constructores navales] emplearon existencias, andamios y arriostramientos de mayores dimensiones para lanzar una embarcación grande que para una pequeña. ; y [un anciano] respondió que hicieron esto para evitar el peligro de que el barco se partiera bajo su propio peso pesado, ¿un peligro al que no están sujetos los botes pequeños?

d / El bote pequeño sostiene s muy bien.

e / Un barco más grande construido con las mismas proporciones que el pequeño colapsará por su propio peso.

f / Un barco de este tamaño debe tener maderas más gruesas en comparación con su tamaño.

Después de este comienzo entretenido pero no científicamente riguroso, Galileo comienza a hacer algo que vale la pena según los estándares modernos. Simplifica todo al considerar la resistencia de una tabla de madera. Las variables involucradas se pueden reducir al tipo de madera, el ancho, el grosor y la longitud. También da una definición operativa de lo que significa que la tabla tenga una cierta resistencia “en proporción a su tamaño”, al introducir el concepto de una tabla que es la más larga que no se rompería por su propio peso si se apoyara en una sola. final. Si aumentara su longitud en la menor cantidad, sin aumentar su ancho o grosor, se rompería. Él dice que si un tablón tiene la misma forma que otro pero de un tamaño diferente, apareciendo como una fotografía reducida o ampliada del otro, entonces los tablones serían fuertes “en proporción a sus tamaños” si ambos apenas pudieran soportar su propio peso.

g / 1. Esta tabla es lo más larga posible sin colapsarse por su propio peso. Si fuera una centésima de pulgada más, colapsaría. 2. Este tablón está hecho del mismo tipo de madera. Es el doble de grueso, el doble de largo y el doble de ancho. Se derrumbará bajo su propio peso.

h / Galileo discute tablones de madera, pero el concepto puede ser más fácil de imaginar con arcilla. Las tres barras de arcilla en la figura tenían originalmente la misma forma. El mediano era dos veces más alto, dos veces más largo y dos veces más ancho que el pequeño, y de manera similar, el grande era dos veces más grande que el mediano en todas sus dimensiones lineales. El grande tiene cuatro veces las dimensiones lineales del pequeño, 16 veces el área de la sección transversal cuando se corta perpendicular a la página y 64 veces el volumen. Eso significa que el grande tiene 64 veces más peso que soportar, pero solo 16 veces la fuerza en comparación con el más pequeño.

Además, Galileo está haciendo algo que estaría mal visto en la ciencia moderna: está mezclando experimentos cuyos resultados ha observado (construyendo barcos de diferentes tamaños), con experimentos que posiblemente no podría haber hecho (dejar caer una hormiga desde la altura de la luna). Ahora relata cómo ha realizado experimentos reales con tales tablas, y descubrió que, de acuerdo con esta definición operativa, no son fuertes en proporción a sus tamaños. El más grande se rompe. Se asegura de decirle al lector lo importante que es el resultado, a través de la asombrosa respuesta de Sagredo:

Sagredo:

Mi cerebro ya se tambalea. Mi mente, como una nube momentáneamente iluminada por un rayo, se llena por un instante de una luz inusual, que ahora me llama y que ahora se mezcla y oscurece ideas extrañas y crudas. Por lo que ha dicho, me parece imposible construir dos estructuras similares del mismo material, pero de diferentes tamaños y tenerlas proporcionalmente fuertes.

En otras palabras, este experimento específico, usando cosas como tablas de madera que no tienen interés científico intrínseco, tiene implicaciones muy amplias porque señala un principio general, que la naturaleza actúa de manera diferente en diferentes escalas.

Para finalizar la discusión, Galileo da una explicación. Él dice que la resistencia de una tabla (definida como, por ejemplo, el peso de la roca más pesada que podría poner en el extremo sin romperla) es proporcional a su área de sección transversal, es decir, el área de superficie de la madera fresca que estaría expuesto si lo cortara en el medio. Su peso, sin embargo, es proporcional a su volumen. 2

¿Cómo se comparan el volumen y el área de la sección transversal de la tabla más larga con los de la tabla más corta? Ya hemos visto, mientras discutimos las conversiones de las unidades de área y volumen, que estas cantidades no actúan de la manera que la mayoría de la gente espera ingenuamente. Se podría pensar que el volumen y el área de la tabla más larga se duplicarían en comparación con la tabla más corta, por lo que aumentarían en proporción entre sí, y la tabla más larga sería igualmente capaz de soportar su peso. Te equivocarías, pero Galileo sabe que este es un error común, por lo que Salviati aborda el punto específicamente:

Salviati:

… Toma, por ejemplo, un cube dos pulgadas de lado para que cada cara tenga un área de cuatro pulgadas cuadradas y el área total, es decir, la suma de las seis caras, equivale a veinticuatro pulgadas cuadradas; Ahora imagine que este cubo se aserrará tres veces [con cortes en tres planos perpendiculares] para dividirlo en ocho cubos más pequeños, cada una pulgada en el costado, cada cara una pulgada cuadrada y la superficie total de cada cubo seis cuadrados pulgadas en lugar de veinticuatro en el caso del cubo más grande. Por lo tanto, es evidente que la superficie del cubo pequeño es solo un cuarto de la del cubo más grande, es decir, la proporción de seis a veinticuatro; pero el volumen del cubo sólido es solo un octavo; el volumen, y por lo tanto también el peso, disminuye mucho más rápidamente que la superficie … Usted ve, por lo tanto, Simplicio, que no me equivoqué cuando … dije que la superficie de un sólido pequeño es comparativamente mayor que eso de uno grande.

El mismo razonamiento se aplica a las tablas. Aunque no son cubos, el grande se puede cortar en ocho pequeños, cada uno con la mitad de la longitud, la mitad del grosor y la mitad del ancho. El tablón pequeño, por lo tanto, tiene más área de superficie en proporción a su peso y, por lo tanto, puede soportar su propio peso mientras se rompe el grande.

Escala de área y volumen para objetos de forma irregular

Probablemente no va a creer la afirmación de Galileo de que esto tiene profundas implicaciones para toda la naturaleza a menos que puede convencerse de que lo mismo es cierto para cualquier forma. Cada dibujo que has visto hasta ahora ha sido de cuadrados, rectángulos y sólidos rectangulares. Claramente, el razonamiento sobre cortar cosas en pedazos más pequeños no probaría nada sobre, por ejemplo, un huevo, que no se puede cortar en ocho objetos más pequeños en forma de huevo con la mitad de longitud.

¿Es siempre cierto que algo de la mitad del tamaño tiene un cuarto del área de superficie y un octavo del volumen, incluso si tiene una forma irregular? Tome el ejemplo del violín de un niño. Los violines están hechos para niños pequeños de menor tamaño para acomodar sus cuerpos pequeños. La figura i muestra un violín de tamaño completo, junto con dos violines hechos con la mitad y 3/4 de la longitud normal. 3 Estudiemos la superficie de los paneles frontales de los tres violines.

i / El área de una forma es proporcional al cuadrado de sus dimensiones lineales, incluso si la forma es irregular.

Considere el cuadrado en el interior del panel del violín de tamaño completo. En el violín de tamaño 3/4, su altura y ancho son menores en un factor de 3/4, por lo que el área del cuadrado más pequeño correspondiente se convierte en (3/4 times3 / 4 = 9/16 ) de El área original, no 3/4 del área original. Del mismo modo, el cuadrado correspondiente en el violín más pequeño tiene la mitad de la altura y la mitad del ancho del original, por lo que su área es 1/4 del área original, no la mitad.

El mismo razonamiento funciona para partes del panel cerca del borde, como la parte que solo llena parcialmente el otro cuadrado. Todo el cuadrado se reduce en escala igual que un cuadrado en el interior, y en cada violín la misma fracción (aproximadamente 70%) del cuadrado está llena, por lo que la contribución de esta parte al área total se reduce de la misma manera.

Dado que cualquier región cuadrada pequeña o cualquier región pequeña que cubra parte de un cuadrado se reduce como un objeto cuadrado, toda el área de superficie de un objeto de forma irregular cambia de la misma manera que el área de superficie de un cuadrado: escala hacia abajo en 3/4 reduce el área en un factor de 9/16, y así sucesivamente.

En general, podemos ver que cada vez que hay dos objetos con la misma forma, pero con diferentes dimensiones lineales (es decir, uno parece una foto reducida de la otra), la proporción de sus áreas es igual a la proporción de los cuadrados de sus dimensiones lineales:

[ begin {ecation *} frac {A_1} {A_2} = left ( frac {L_1} {L_2} right) ^ 2. end {ecuación *} ]

Tenga en cuenta que no importa dónde elijamos medir el tamaño lineal, (L ), de un objeto. En el caso de los violines, por ejemplo, podría haberse medido verticalmente, horizontalmente, en diagonal o incluso desde la parte inferior del agujero f izquierdo hasta la mitad del agujero f derecho. Solo tenemos que medirlo de manera consistente en cada violín. Dado que se supone que todas las partes se contraen o expanden de la misma manera, la relación (L_1 / L_2 ) es independiente de la elección de la medición.

También es importante darse cuenta de que es completamente innecesario tener una fórmula para el área de un violín. Solo es posible derivar fórmulas simples para las áreas de ciertas formas como círculos, rectángulos, triángulos, etc., pero eso no es impedimento para el tipo de razonamiento que estamos usando.

A veces es inconveniente escribir todas las ecuaciones en términos de razones, especialmente cuando se comparan más de dos objetos. Una forma más compacta de reescribir la ecuación anterior es

[ begin {ecation *} A propto L ^ 2. end {ecuación *} ]

El símbolo ” ( propto )” significa “es proporcional a”. Los científicos e ingenieros a menudo hablan de tales relaciones verbalmente usando las frases “escalas como” o “va como”, por ejemplo, “el área va como la longitud al cuadrado”.

Todos los razonamientos anteriores funcionan igual de bien en el caso del volumen. El volumen va como la longitud en cubos:

[ begin {ecation *} V propto L ^ 3. end {ecuación *} ]

autocomprobación:

Cuando un automóvil o camión viaja por una carretera, allí es el desgaste de la superficie de la carretera, lo que conlleva un costo. Los estudios muestran que el costo (C ) por kilómetro de viaje está relacionado con el peso por eje (w ) por (C propto w ^ 4 ). Convierta esto en una declaración sobre razones.

(respuesta en la parte posterior de la versión PDF del libro)

Si diferentes objetos están hechos del mismo material con la misma densidad, ( rho = m / V ), entonces sus masas, (m = rho V ), son proporcionales a (L ^ 3 ). (El símbolo de densidad es ( rho ), la letra griega minúscula “rho”).

Un punto importante es que todo el razonamiento anterior sobre la escala solo se aplica a objetos que son iguales forma. Por ejemplo, un trozo de papel es más grande que un lápiz, pero tiene una relación superficie-volumen mucho mayor.

j / El panecillo sale del horno demasiado caliente para comer. Romperlo en cuatro pedazos aumenta su área de superficie mientras mantiene el volumen total igual. Se enfría más rápido debido a la mayor relación superficie-volumen. En general, las cosas más pequeñas tienen mayores relaciones de superficie a volumen, pero en este ejemplo no hay una manera fácil de calcular el efecto exactamente, porque las piezas pequeñas no tienen la misma forma que el panecillo original.

Ejemplo 5: Escalado del área de un triángulo

[ 19459047]

k / Ejemplo 5 . El triángulo grande tiene cuatro veces más área que el pequeño.

( triangleright ) En la figura k , el triángulo más grande tiene lados dos veces más largos. ¿Cuántas veces mayor es su área?

Solución correcta # 1: El área escala en proporción al cuadrado de las dimensiones lineales, por lo que el triángulo más grande tiene cuatro veces más área ((2 ^ 2 = 4) ).

Solución correcta # 2: Podría cortar el triángulo más grande en cuatro del tamaño más pequeño, como se muestra en la fig. (b), entonces su área es cuatro veces mayor. (Esta solución es correcta, pero no funcionaría para una forma como un círculo, que no se puede cortar en círculos más pequeños).

l / Una forma complicada de resolver el ejemplo 5 , explicado en la solución # 2.

Solución correcta # 3: El área de un triángulo viene dada por

(A = bh / 2 ), donde (b ) es la base y (h ) es la altura Las áreas de los triángulos son

[ begin {align *} A_1 & = b_1 h_1 / 2 \ A_2 & = b_2 h_2 / 2 \ & = (2b_1) (2h_1) / 2 \ & = 2b_1 h_1 \ A_2 / A_1 & = (2b_1 h_1) / (b_1 h_1 / 2) \ & = 4 end {align *} ]

(Aunque esta solución es correcta, es mucho más trabajo que la solución # 1, y solo se puede usar en este caso porque un triángulo es una forma geométrica simple, y resulta que conocemos una fórmula para su área.)

Solución correcta # 4: El área de un triángulo es (A = bh / 2 ). La comparación de las áreas saldrá igual siempre que las relaciones de los tamaños lineales de los triángulos sean las especificadas, así que digamos (b_1 = 1.00 ) my (b_2 = 2.00 ) m. Las alturas son también (h_1 = 1.00 ) my (h_2 = 2.00 ) m, dando áreas (A_1 = 0.50 text {m} ^ 2 ) y (A_2 = 2.00 text { m} ^ 2 ), entonces (A_2 / A_1 = 4.00 ).

(La solución es correcta, pero no funcionaría con una forma para cuya área no tenemos una fórmula. Además, el cálculo numérico puede hacer que la respuesta de 4.00 parezca inexacta, mientras que la solución # 1 deja en claro que es exactamente 4.)

Solución incorrecta: el área de un triángulo es (A = bh / 2 ), y si conecta (b = 2.00 ) my (h = 2.00 ) m, obtienes (A = 2.00 text {m} ^ 2 ), entonces el triángulo más grande tiene 2.00 veces más área. (Esta solución es incorrecta porque no se ha hecho ninguna comparación con el triángulo más pequeño).

Ejemplo 6: Escalado del volumen de una esfera

m / Ejemplo 6 . La esfera grande tiene 125 veces más volumen que la pequeña.

( triangleright ) En la figura m , la esfera más grande tiene un radio que es cinco veces mayor. ¿Cuántas veces mayor es su volumen?

Solución correcta # 1: El volumen se escala como la tercera potencia del tamaño lineal, por lo que la esfera más grande tiene un volumen que es 125 veces mayor ((5 ^ 3 = 125) ).

Solución correcta # 2: El volumen de una esfera es (V = (4/3) pi r ^ 3 ), entonces

[ begin {align *} V_1 & = frac {4} {3} pi r_1 ^ 3 \ V_2 & = frac {4} {3} pi r_2 ^ 3 \ & = frac {4} {3} pi (5r_1) ^ 3 \ & = frac {500} {3} pi r_1 ^ 3 \ V_2 / V_1 & = left ( frac {500} {3} pi r_1 ^ 3 right) / left ( frac {4} {3} pi r_1 ^ 3 right) & = 125 end {align *} ]

Solución incorrecta: El volumen de una esfera es (V = (4/3) pi r ^ 3 ), entonces

[ begin {align *} V_1 & = frac {4} {3} pi r_1 ^ 3 \ V_2 & = frac {4} { 3} pi r_2 ^ 3 \ & = frac {4} {3} pi cdot 5r_1 ^ 3 \ & = frac {20} {3} pi r_1 ^ 3 \ V_2 / V_1 & = left ( frac {20} {3} pi r_1 ^ 3 right) / left ( frac {4} {3} pi r_1 ^ 3 right) & = 5 end {align *} ]

(La solución es incorrecta porque ((5r_1) ^ 3 ) no es lo mismo que (5r_1 ^ 3 ).)

Ejemplo 7: Escalado de una forma más compleja

n / Ejemplo 7 . La “S” de 48 puntos tiene 1,78 veces más área que la “S” de 36 puntos.

( triangleright ) La primera letra “S” en la figura n está en una fuente de 36 puntos, la segunda en 48 puntos. ¿Cuántas veces se necesita más tinta para hacer la “S” más grande? (Los puntos son una unidad de longitud utilizada en la tipografía.)

Solución correcta: la cantidad de tinta depende del área a cubrir con tinta, y el área es proporcional al cuadrado de las dimensiones lineales, por lo que la cantidad de tinta requerida para la segunda “S” es mayor por un factor de ((48/36) ^ 2 = 1.78 ).

Solución incorrecta: la longitud de la curva de la segunda “S” es más larga por un factor de (48/36 = 1,33 ), por lo que se requiere 1,33 veces más tinta.

(La solución es incorrecta porque supone incorrectamente que el ancho de la curva es el mismo en ambos casos. En realidad, tanto el ancho como la longitud de la curva son mayores en un factor de 48/36, entonces el área es mayor por un factor de ((48/36) ^ 2 = 1.78 ).)

[194590007] Razonamiento sobre proporciones y proporcionalidades es uno de las tres habilidades matemáticas esenciales, resumidas en las páginas 905-907, que necesita para tener éxito en este curso.

◊ Problema resuelto: un telescopio recoge la luz – problema 32

◊ Problema resuelto: distancia desde un terremoto – problema 33

Preguntas de debate [19459068 ]

◊ Un camión de bomberos de juguete tiene 1/30 del tamaño del verdadero, pero está construido del mismo metal con las mismas proporciones. ¿Cuántas veces más pequeño es su peso? ¿Cuántas veces se necesitaría menos pintura roja para pintarlo?

◊ Galileo pasa mucho tiempo en su diálogo discutiendo lo que realmente sucede cuando las cosas se rompen. Discute todo en términos de la explicación ahora desacreditada de Aristóteles de que las cosas son difíciles de romper, porque si algo se rompe, debe haber una brecha entre las dos mitades sin nada en el medio, al menos inicialmente. La naturaleza, según Aristóteles, “aborrece el vacío”, es decir, a la naturaleza no le gusta que exista el espacio vacío. Por supuesto, el aire se precipitará a la brecha de inmediato, pero en el momento mismo de la ruptura, Aristóteles imaginó un vacío en la brecha. ¿Es la explicación de Aristóteles de por qué es difícil romper las cosas una afirmación experimentalmente comprobable? Si es así, ¿cómo podría probarse experimentalmente?

0.2.3 Estimaciones de orden de magnitud

Es la marca de una mente instruida para estar satisfecho con el grado de precisión que la naturaleza del sujeto permite y no buscar una exactitud donde solo es posible una aproximación de la verdad. – Aristóteles

o / ¿Puedes adivinar cuántos caramelos hay en el frasco? Si intentas adivinar directamente, seguramente lo subestimarás. La forma correcta de hacerlo es estimar las dimensiones lineales, luego obtener el volumen indirectamente. Ver problema 44 , pág. 53.

Es un error común pensar que la ciencia debe ser exacta. Por ejemplo, en la serie de televisión Star Trek, a menudo sucedía que el Capitán Kirk le preguntaba al Sr. Spock: “Spock, estamos en una situación bastante mala. ¿Cuáles crees que son nuestras posibilidades de salir de aquí? El científico Spock respondería con algo como: “Capitán, calculo las probabilidades como 237.345 a una”. En realidad, no pudo haber estimado las probabilidades con seis cifras significativas de precisión, pero sin embargo, una de las características de una persona con una buena educación en ciencias es la capacidad de hacer estimaciones que probablemente estén al menos en algún lugar en el estadio correcto. . En muchas de estas situaciones, a menudo solo es necesario obtener una respuesta que no esté desactivada por un factor de diez en cualquier dirección. Dado que se dice que las cosas que difieren en un factor de diez difieren en un orden de magnitud, dicha estimación se denomina estimación de orden de magnitud. La tilde, ( sim ), se usa para indicar que las cosas son solo del mismo orden de magnitud, pero no exactamente iguales, como en

[ begin {ecation *} text {odds de supervivencia} sim text {100 a uno}. end {ecuación *} ]

La ​​tilde también se puede usar delante de un número individual para enfatizar que el número es solo del orden correcto de magnitud.

Aunque hacer estimaciones de orden de magnitud parece simple y natural para los científicos experimentados, es un modo de razonamiento que es completamente desconocido para la mayoría de los estudiantes universitarios. Algunos de los pasos mentales típicos se pueden ilustrar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8: Costo de transportar tomates (solución incorrecta)

( triangleright ) Aproximadamente, ¿qué porcentaje del precio de un tomate proviene del costo de transportarlo en un camión?

( triangleright ) La siguiente solución incorrecta ilustra una de las principales formas en que puede equivocarse en las estimaciones de orden de magnitud.

Solución incorrecta: Digamos que el camionero necesita obtener una ganancia de $ 400 en el viaje. Teniendo en cuenta sus beneficios, el costo de la gasolina, el mantenimiento y los pagos del camión, digamos que el costo total es más de $ 2000. Supongo que unos 5000 tomates cabrían en la parte trasera del camión, por lo que el costo adicional por tomate es de 40 centavos. Eso significa que el costo de transportar un tomate es comparable al costo del tomate en sí. El transporte realmente agrega mucho al costo de los productos, supongo.

El problema es que el cerebro humano no es muy bueno para estimar el área o el volumen, por lo que resulta que la estimación de 5000 tomates que caben en el camión es bastante apagado. Es por eso que la gente tiene dificultades en esos concursos donde se supone que debes estimar la cantidad de gominolas en un gran frasco. Otro ejemplo es que la mayoría de las personas piensan que sus familias usan aproximadamente 10 galones de agua por día, pero en realidad el promedio es de aproximadamente 300 galones por día. Al estimar el área o el volumen, es mucho mejor estimar las dimensiones lineales y calcular el volumen a partir de las dimensiones lineales.

p / Considere una vaca esférica.

Aquí hay una mejor solución al problema del camión de tomate:

Ejemplo 9: Costo de transportar tomates (solución correcta)

Como en la solución anterior, digamos que el costo del viaje es de $ 2000. Las dimensiones del contenedor son probablemente 4 m ( times ) 2 m ( times ) 1 m, para un volumen de (8 text {m} ^ 3 ). Como todo es solo una estimación de orden de magnitud, redondeemos eso a la potencia más cercana de diez, (10 ​​ text {m} ^ 3 ). La forma de un tomate es complicada, y no conozco ninguna fórmula para el volumen de una forma de tomate, pero dado que esto es solo una estimación, imaginemos que un tomate es un cubo, 0.05 m ( times ) 0.05 m ( times ) 0.05 m, para un volumen de (1.25 times10 ^ {- 4} text {m} ^ 3 ). Como esto es solo una estimación aproximada, redondeemos eso a (10 ​​^ {- 4} text {m} ^ 3 ). Podemos encontrar el número total de tomates dividiendo el volumen del contenedor por el volumen de un tomate: (10 ​​ text {m} ^ 3/10 ^ {- 4} text {m} ^ 3 = 10 ^ 5 ) tomates. El costo de transporte por tomate es $$ 2000/10 ^ 5 $ tomates = $ 0.02 / tomate. Eso significa que el transporte realmente no contribuye mucho al costo de un tomate.

Aproximar la forma de un tomate como un cubo es un ejemplo de otra estrategia general para hacer estimaciones de orden de magnitud. Una situación similar ocurriría si intentara estimar cuántos ( text {m} ^ 2 ) de cuero podrían producirse a partir de una manada de diez mil reses. No tiene sentido tratar de tener en cuenta la forma de los cuerpos de las vacas. Un plan de ataque razonable podría ser considerar una vaca esférica. Probablemente, una vaca tiene aproximadamente la misma superficie que una esfera con un radio de aproximadamente 1 m, que sería (4 pi (1 text {m}) ^ 2 ). Using the well-known facts that pi equals three, and four times three equals about ten, we can guess that a cow has a surface area of about (10 text{m}^2), so the herd as a whole might yield (10^5 text{m}^2) of leather.

Example 10: Estimating mass indirectly

Usually the best way to estimate mass is to estimate linear dimensions, then use those to infer volume, and then get the mass based on the volume. For example, Amphicoelias , shown in the figure, may have been the largest land animal ever to live. Fossils tell us the linear dimensions of an animal, but we can only indirectly guess its mass. Given the length scale in the figure, let’s estimate the mass of an Amphicoelias .

Its torso looks like it can be approximated by a rectangular box with dimensions (10 text{m}times5 text{m}times3 text{m}), giving about (2times10^2 text{m}^3). Living things are mostly made of water, so we assume the animal to have the density of water, (1 text{g}/text{cm}^3), which converts to (10^3 text{kg}/text{m}^3). This gives a mass of about (2times10^5 text{kg}), or 200 metric tons.

The following list summarizes the strategies for getting a good order-of-magnitude estimate.

  1. Don’t even attempt more than one significant figure of precision.
  2. Don’t guess area, volume, or mass directly. Guess linear dimensions and get area, volume, or mass from them.
  3. When dealing with areas or volumes of objects with complex shapes, idealize them as if they were some simpler shape, a cube or a sphere, for example.
  4. Check your final answer to see if it is reasonable. If you estimate that a herd of ten thousand cattle would yield (0.01 text{m}^2) of leather, then you have probably made a mistake with conversion factors somewhere.