Saltar al contenido
La fisica y quimica

1.5: Incertidumbre en la medición

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

         

  • Para presentar las habilidades matemáticas fundamentales, deberá completar preguntas y problemas básicos de química
  •  

 

 

Las mediciones pueden ser precisas, lo que significa que el valor medido es el mismo que el valor verdadero; pueden ser precisos, lo que significa que las mediciones múltiples dan valores casi idénticos (es decir, resultados reproducibles); pueden ser tanto precisos como precisos; o pueden no ser ni precisos ni precisos. El objetivo de los científicos es obtener valores medidos que sean precisos y precisos.

 

Supongamos, por ejemplo, que la masa de una muestra de oro se midió en una balanza y se descubrió que era 1.896 g. En un balance diferente, se encontró que la misma muestra tenía una masa de 1.125 g. ¿Cuál fue correcto? Las mediciones cuidadosas y repetidas, incluidas las mediciones en una tercera balanza calibrada, mostraron que la muestra tenía una masa de 1.895 g. Las masas obtenidas de los tres saldos se encuentran en la siguiente tabla:

 

     

         

             

             

             

         

     

     

         

             

             

             

         

         

             

             

             

         

         

             

             

             

         

     

 

Saldo 1 Saldo 2 Saldo 3
1.896 g 1,125 g 1.893 g
1,895 g 1.158 g 1,895 g
1,894 g 1,067 g 1,895 g

 

Mientras que las mediciones obtenidas de los balances 1 y 3 son reproducibles (precisas) y cercanas al valor aceptado (exacto), las obtenidas del balance 2 tampoco lo son. Incluso si las mediciones obtenidas del balance 2 hubieran sido precisas (si, por ejemplo, hubieran sido 1.125, 1.124 y 1.125), todavía no habrían sido precisas. Podemos evaluar la precisión de un conjunto de mediciones calculando la desviación promedio de las mediciones de la siguiente manera:

 

1. Calcule el valor promedio de todas las mediciones:

 

[promedio = text {suma de medidas} over text {número de medidas} label {Eq1} ]

 

2. Calcule la desviación de cada medición, que es el valor absoluto de la diferencia entre cada medición y el valor promedio:

 

[desviación = | text {medición – promedio} | label {Eq2} ]

 

donde | El | significa valor absoluto (es decir, convertir cualquier número negativo en un número positivo).

 

3. Suma todas las desviaciones y divide por el número de mediciones para obtener la desviación promedio:

 

[promedio = dfrac { text {suma de desviaciones}} { text {número de mediciones}} label {Eq3} ]

Entonces podemos expresar la precisión como un porcentaje dividiendo la desviación promedio por el valor promedio de las mediciones y multiplicando el resultado por 100. En el caso del balance 2, el valor promedio es

 

[{1.125 ; g + 1.158 ; g + 1.067 ; g over 3} = 1.117 ; g ]

 

Las desviaciones son

 

         

  • (| 1.125 ; g – 1.117 ; g | = 0.008 ; g )
  •      

  • (| 1.158 ; g – 1.117 ; g | = 0.041 : g ), y
  •      

  • (| 1.067 ; g – 1.117 ; g | = 0.050 ; g ).
  •  

 

Entonces, la desviación promedio es

 

[{0.008 : g + 0.041 ; g + 0.050 ; g over 3} = 0.033 ; g ]

 

La precisión de este conjunto de mediciones es, por lo tanto,

 

[{0.033 ; g over 1.117 ; g} times 100 = 3.0 % ]

 

Cuando una serie de mediciones es precisa pero no exacta, el error suele ser sistemático. Los errores sistemáticos pueden ser causados ​​por una instrumentación defectuosa o una técnica defectuosa.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Los siguientes objetivos de tiro con arco muestran marcas que representan los resultados de cuatro conjuntos de mediciones. Qué objetivo muestra

 

         

  1. un conjunto de medidas preciso pero inexacto?
  2.      

  3. un conjunto de medidas preciso pero impreciso?
  4.      

  5. un conjunto de mediciones que es a la vez preciso y exacto?
  6.      

  7. un conjunto de medidas que no es ni preciso ni exacto?
  8.  

 

imageedit_7_4880269620.png

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

         

  1. Un diamante de 1 quilate tiene una masa de 200.0 mg. Cuando un joyero pesaba repetidamente un diamante de 2 quilates, obtuvo medidas de 450.0 mg, 459.0 mg y 463.0 mg. ¿Fueron precisas las medidas del joyero? ¿Eran precisos?
  2.      

  3. Un solo centavo de cobre se probó tres veces para determinar su composición. El primer análisis dio una composición de 93.2% de zinc y 2.8% de cobre, el segundo dio 92.9% de zinc y 3.1% de cobre, y el tercero dio 93.5% de zinc y 2.5% de cobre. La composición real del centavo era 97.6% de zinc y 2.4% de cobre. ¿Fueron precisos los resultados? ¿Eran precisos?
  4.  

 

SOLUCIÓN

 

a. La masa esperada de un diamante de 2 quilates es 2 × 200.0 mg = 400.0 mg. El promedio de las tres mediciones es de 457.3 mg, aproximadamente 13% mayor que la masa real. Estas medidas no son particularmente precisas.

 

Las desviaciones de las mediciones son 7.3 mg, 1.7 mg y 5.7 mg, respectivamente, que dan una desviación promedio de 4.9 mg y una precisión de

 

[{4.9 mg sobre 457.3 mg} veces 100 = 1.1 % ]

 

 

Estas medidas son más bien precisas .

 

b. Los valores promedio de las mediciones son 93.2% de zinc y 2.8% de cobre versus los valores verdaderos de 97.6% de zinc y 2.4% de cobre. Por lo tanto, estas mediciones no son muy precisas, con errores de −4.5% y + 17% para zinc y cobre, respectivamente. (La suma de los contenidos medidos de zinc y cobre es solo del 96.0% en lugar del 100%, lo que nos dice que hay un error significativo en una o ambas mediciones o algún otro elemento está presente).

 

Las desviaciones de las mediciones son 0.0%, 0.3% y 0.3% para zinc y cobre, lo que da una desviación promedio de 0.2% para ambos metales. Por lo tanto, podríamos concluir que las mediciones son igualmente precisas, pero ese no es el caso. Recuerde que la precisión es la desviación promedio dividida por el valor promedio multiplicado por 100. Debido a que el valor promedio de las mediciones de zinc es mucho mayor que el valor promedio de las mediciones de cobre (93.2% versus 2.8%), las mediciones de cobre son mucho menos precisas.

 

[ text {precisión (Zn)} = dfrac {0.2 %} {93.2 %} times 100 = 0.2 % ]

 

[ text {precision (Cu)} = dfrac {0.2 %} {2.8 %} times 100 = 7 % ]

 

Cifras significativas

 

Ninguna medición está libre de errores. El error se introduce por las limitaciones de los instrumentos y dispositivos de medición (como el tamaño de las divisiones en un cilindro graduado) y la imperfección de los sentidos humanos (es decir, la detección). Aunque los errores en los cálculos pueden ser enormes, no contribuyen a la incertidumbre en las mediciones. Los químicos describen el grado de error estimado en una medición como la incertidumbre de la medición, y tienen cuidado de informar todos los valores medidos utilizando solo cifras significativas, números que describen el valor sin exagerar el grado en que se sabe que es exacto. Los químicos informan como significativos todos los números conocidos con absoluta certeza, más un dígito más que se entiende que contiene cierta incertidumbre. La incertidumbre en el último dígito generalmente se supone que es ± 1, a menos que se indique lo contrario.

 

Las siguientes reglas se han desarrollado para contar el número de cifras significativas en una medición o cálculo:

 

         

  1. Cualquier dígito distinto de cero es significativo.
  2.      

  3. Todos los ceros entre dígitos distintos de cero son significativos. El número 2005, por ejemplo, tiene cuatro cifras significativas.
  4.      

  5. Los ceros utilizados como marcador de posición que preceden al primer dígito distinto de cero no son significativos. Entonces 0.05 tiene una cifra significativa porque los ceros se usan para indicar la ubicación del dígito 5. En contraste, 0.050 tiene dos cifras significativas porque los dos últimos dígitos corresponden al número 50; el último cero no es un marcador de posición. Como ejemplo adicional, 5.0 tiene dos cifras significativas porque el cero no se usa para colocar el 5 sino para indicar 5.0.
  6.      

  7. Cuando un número no contiene un punto decimal, los ceros agregados después de un número distinto de cero pueden ser significativos o no. Un ejemplo es el número 100, que puede interpretarse como que tiene una, dos o tres cifras significativas. (Nota: trate todos los ceros finales en los ejercicios y problemas en este texto como significativos a menos que se le indique específicamente lo contrario).
  8.      

  9. Los enteros obtenidos contando objetos o de definiciones son números exactos, que se consideran que tienen infinitas cifras significativas. Si hemos contado cuatro objetos, por ejemplo, entonces el número 4 tiene un número infinito de cifras significativas (es decir, representa 4.000 …). Del mismo modo, 1 pie (ft) se define para contener 12 pulgadas (in), por lo que el número 12 en la siguiente ecuación tiene infinitas cifras significativas:
  10.  

 

[1 pie = 12 pulgadas ]

 

Un método efectivo para determinar el número de cifras significativas es convertir el valor medido o calculado a notación científica porque cualquier cero utilizado como marcador de posición se elimina en la conversión. Cuando 0.0800 se expresa en notación científica como 8.00 × 10 −2 , es más evidente que el número tiene tres cifras significativas en lugar de cinco; en notación científica, el número que precede al exponencial (es decir, N) determina el número de cifras significativas.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Indique el número de cifras significativas en cada uno. Identifica la regla para cada uno.

 

         

  1. 5,87
  2.      

  3. 0,031
  4.      

  5. 52,90
  6.      

  7. 00.2001
  8.      

  9. 500
  10.      

  11. 6 átomos
  12.  

 

SOLUCIÓN

 

         

  1. tres (regla 1)
  2.      

  3. dos (regla 3); en notación científica, este número se representa como 3.1 × 10 −2 , lo que muestra que tiene dos cifras significativas.
  4.      

  5. cuatro (regla 3)
  6.      

  7. cuatro (regla 2); este número es 2.001 × 10 −1 en notación científica, lo que demuestra que tiene cuatro cifras significativas.
  8.      

  9. uno, dos o tres (regla 4)
  10.      

  11. infinito (regla 5)
  12.  

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

¿Qué aparato de medición usarías para entregar 9,7 ml de agua con la mayor precisión posible? ¿A cuántas cifras significativas puede medir ese volumen de agua con el aparato que seleccionó?

 

imageedit_7_5998895660.png

 

Solución

 

Utilice el cilindro graduado de 10 ml, que tendrá una precisión de dos cifras significativas.

 

 

Las operaciones matemáticas se llevan a cabo utilizando todos los dígitos dados y luego redondeando el resultado final al número correcto de cifras significativas para obtener una respuesta razonable. Este método evita imprecisiones de capitalización redondeando sucesivamente los cálculos intermedios. Después de completar un cálculo, es posible que tenga que redondear la última cifra significativa hacia arriba o hacia abajo según el valor del dígito que le sigue. Si el dígito es 5 o mayor, entonces el número se redondea hacia arriba. Por ejemplo, cuando se redondea a tres cifras significativas, 5.215 es 5.22, mientras que 5.213 es 5.21. De manera similar, para tres cifras significativas, 5.005 kg se convierte en 5.01 kg, mientras que 5.004 kg se convierte en 5.00 kg. Los procedimientos para tratar con cifras significativas son diferentes para la suma y la resta en comparación con la multiplicación y la división.

 

Cuando sumamos o restamos valores medidos, el valor con la menor cantidad de cifras significativas a la derecha del punto decimal determina el número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la respuesta. Dibujar una línea vertical a la derecha de la columna correspondiente al menor número de cifras significativas es un método simple para determinar el número correcto de cifras significativas para la respuesta:

 

    

         

             

             

         

         

             

             

         

     

 

             

3240,7 + 21,2

             

             

36

             

3261,9 36

 

La línea indica que los dígitos 3 y 6 no son significativos en la respuesta. Estos dígitos no son significativos porque los valores para los lugares correspondientes en la otra medición son desconocidos (3240.7 ??). En consecuencia, la respuesta se expresa como 3261.9, con cinco cifras significativas. Nuevamente, los números mayores o iguales a 5 se redondean hacia arriba. Si nuestro segundo número en el cálculo hubiera sido 21.256, entonces habríamos redondeado 3261.956 a 3262.0 para completar nuestro cálculo.

 

Cuando multiplicamos o dividimos los valores medidos, la respuesta se limita al número más pequeño de cifras significativas en el cálculo; por lo tanto, 42.9 × 8.323 = 357.057 = 357. Aunque el segundo número en el cálculo tiene cuatro cifras significativas, estamos justificados al informar la respuesta a solo tres cifras significativas porque el primer número en el cálculo tiene solo tres cifras significativas. Se produce una excepción a esta regla al multiplicar un número por un número entero, como en 12.793 × 12. En este caso, el número de cifras significativas en la respuesta está determinado por el número 12.973, porque en esencia estamos agregando 12.973 a sí mismo 12 veces . Por lo tanto, la respuesta correcta es 155.516, un aumento de una cifra significativa, no 155.52.

 

Cuando usa una calculadora, es importante recordar que el número que se muestra en la pantalla de la calculadora a menudo muestra más dígitos de los que puede informar como significativos en su respuesta. Cuando una medición informada como 5.0 kg se divide por 3.0 L, por ejemplo, la pantalla puede mostrar 1.666666667 como respuesta. Estamos justificados al informar la respuesta a solo dos cifras significativas, dando 1,7 kg / L como respuesta, y se entiende que el último dígito tiene cierta incertidumbre.

 

En los cálculos que involucran varios pasos, se pueden obtener respuestas ligeramente diferentes dependiendo de cómo se maneje el redondeo, específicamente si el redondeo se realiza en resultados intermedios o se pospone hasta el último paso. El redondeo al número correcto de cifras significativas siempre debe realizarse al final de una serie de cálculos porque el redondeo de resultados intermedios a veces puede causar que la respuesta final tenga un error significativo.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Complete los cálculos e informe sus respuestas utilizando el número correcto de cifras significativas.

 

         

  1. 87,25 ml + 3,0201 ml
  2.      

  3. 26.843 g + 12.23 g
  4.      

  5. 6 × 12.011
  6.      

  7. 2 (1,008) g + 15,99 g
  8.      

  9. 137,3 + 2 (35,45)
  10.      

  11. ({118.7 sobre 2} g – 35.5 g )
  12.      

  13. (47,23 g – {207,2 más de 5,92} g )
  14.      

  15. ({77.604 sobre 6.467} −4.8 )
  16.      

  17. ({24.86 sobre 2.0} – 3.26 (0.98) )
  18.      

  19. ((15.9994 veces 9) + 2.0158 )
  20.  

 

Solución

 

         

  1. 90,27 ml
  2.      

  3. 39,07 g
  4.      

  5. 72.066 (Ver la regla 5 bajo “Cifras significativas”)
  6.      

  7. 2 (1.008) g + 15.99 g = 2.016 g + 15.99 g = 18.01 g
  8.      

  9. 137,3 + 2 (35,45) = 137,3 + 70,90 = 208,2
  10.      

  11. 59,35 g – 35,5 g = 23,9 g
  12.      

  13. 47,23 g – 35,0 g = 12,2 g
  14.      

  15. 12.00 – 4.8 = 7.2
  16.      

  17. 12 – 3.2 = 9
  18.      

  19. 143.9946 + 2.0158 = 146.0104
  20.  

 

 

En la práctica, los químicos generalmente trabajan con una calculadora y llevan todos los dígitos hacia adelante a través de cálculos posteriores. Sin embargo, cuando trabajamos en papel, a menudo queremos minimizar la cantidad de dígitos que tenemos que escribir. Debido a que los redondeos sucesivos pueden agravar imprecisiones, los redondeos intermedios deben manejarse correctamente. Cuando trabaje en papel, siempre redondee un resultado intermedio para retener al menos un dígito más del que pueda justificarse y llevar este número al siguiente paso en el cálculo. La respuesta final se redondea al número correcto de cifras significativas al final.

 

En los ejemplos trabajados en este texto, a menudo mostraremos los resultados de pasos intermedios en un cálculo. Al hacerlo, mostraremos los resultados solo a la cantidad correcta de cifras significativas permitidas para ese paso, en efecto, trataremos cada paso como un cálculo separado. Este procedimiento está destinado a reforzar las reglas para determinar el número de cifras significativas, pero en algunos casos puede dar una respuesta final que difiere en el último dígito de la obtenida usando una calculadora, donde todos los dígitos se llevan al último paso.