El análisis dimensional es una de las herramientas más valiosas que usan los científicos físicos. En pocas palabras, es la conversión entre una cantidad en una unidad a la cantidad correspondiente en una unidad deseada usando varios factores de conversión. Esto es valioso porque ciertas mediciones son más precisas o más fáciles de encontrar que otras.
Un ejemplo macroscópico: planificación de fiestas
Si ha planeado una fiesta, ha utilizado el análisis dimensional. La cantidad de cerveza y bocadillos que necesitará depende de la cantidad de personas que espera. Por ejemplo, si está planeando una fiesta el viernes por la noche y espera 30 personas, puede estimar que necesita salir y comprar 120 botellas de refrescos y 10 pizzas grandes. ¿Cómo llegaste a estos números? A continuación se indica el tipo de solución de análisis dimensional para el problema del partido:
[(30 ; cancel {humanos}) times left ( dfrac { text {4 sodas}} {1 ; cancel {human}} right) = 120 ; text {sodas} label {Eq1} ]
[(30 ; cancel {humanos}) times left ( dfrac { text {0.333 pizzas}} {1 ; cancel {human}} right) = 10 ; text {pizzas} label {Eq2} ]
Observe que las unidades que se cancelaron están alineadas y solo quedan las unidades deseadas (se discute más abajo). Finalmente, al comprar el refresco, realiza otro análisis dimensional: ¿debería comprar los refrescos en paquetes de seis o en cajas?
[(120 ; {sodas}) times left ( dfrac { text {1 six pack}} {6 ; {sodas}} right) = 20 ; text {seis paquetes} label {Eq3} ]
[(120 ; {sodas}) times left ( dfrac { text {1 case}} {24 ; {sodas}} right) = 5 ; text {cases} label {Eq4} ]
Al darte cuenta de que llevar alrededor de 20 paquetes de seis es un verdadero dolor de cabeza, obtienes 5 cajas de refrescos.
En este problema del partido, hemos utilizado el análisis dimensional de dos maneras diferentes:
- En la primera aplicación (Ecuaciones ( ref {Eq1} ) y Ecuación ( ref {Eq2} )), se utilizó el análisis dimensional para calcular la cantidad de refresco que se necesita. Esto se basa en saber: (1) cuánta gaseosa necesitamos para una persona y (2) cuántas personas esperamos; igualmente para la pizza.
- En la segunda aplicación (Ecuaciones ( ref {Eq3} ) y ( ref {Eq4} )), el análisis dimensional se utilizó para convertir unidades ( es decir, de refrescos individuales a la cantidad equivalente de seis paquetes o cajas)
Uso del análisis dimensional para convertir unidades
Considere la conversión en la ecuación ( ref {Eq3} ):
[(120 ; {sodas}) times left ( dfrac { text {1 six pack}} {6 ; {sodas}} right) = 20 ; text {seis paquetes} label {Eq3a} ]
Si ignoramos los números por un momento, y solo miramos las unidades (es decir, dimensiones ), tenemos:
[ text {soda} times left ( dfrac { text {six pack}} { text {sodas}} right) ]
Podemos tratar las dimensiones de manera similar a otros análisis numéricos (es decir, cualquier número dividido por sí mismo es 1). Por lo tanto:
[ text {soda} times left ( dfrac { text {six pack}} { text {sodas}} right) = cancel { text {soda}} times left ( dfrac { text {six pack}} { cancel { text {sodas}}} right) ]
Entonces, las dimensiones de la respuesta numérica serán “seis paquetes”.
¿Cómo podemos usar el análisis dimensional para asegurarnos de haber configurado nuestra ecuación correctamente? Considere la siguiente forma alternativa de configurar el análisis de conversión de unidades anterior:
[120 cancel { text {soda}} times left ( dfrac { text {6 sodas}} { cancel { text {six pack}}} right) = 720 ; dfrac { text {sodas} ^ 2} { text {1 six pack}} ]
- Si bien es correcto que hay 6 refrescos en un paquete de seis, la ecuación anterior produce un valor de 720 con unidades de refrescos 2 / paquete de seis [19459019 ]
- Estas unidades bastante extrañas indican que la ecuación se configuró incorrectamente (y como consecuencia, tendrás una tonelada de refresco extra en la fiesta).
Uso del análisis dimensional en los cálculos
En el caso anterior, era relativamente sencillo hacer un seguimiento de las unidades durante el cálculo. ¿Qué pasa si el cálculo involucra poderes, etc.? Por ejemplo, la ecuación que relaciona la energía cinética con la masa y la velocidad es:
[E_ {cinética} = dfrac {1} {2} text {mass} times text {velocidad} ^ 2 label {KE} ]
Un ejemplo de unidades de masa es kilogramos (kg) y la velocidad podría estar en metros / segundo (m / s). ¿Cuáles son las dimensiones de (E_ {cinética} )?
[(kg) times left ( dfrac {m} {s} right) ^ 2 = dfrac {kg ; m ^ 2} {s ^ 2} ]
El factor ( frac {1} {2} ) en la ecuación ref {KE} se descuida ya que los números puros no tienen unidades. Como la velocidad se eleva al cuadrado en la ecuación ref {KE}, las dimensiones asociadas con el valor numérico de la velocidad también se cuadran. Podemos verificar esto al saber que el Joule ( (J )) es una medida de energía, y como una unidad compuesta puede descomponerse así:
[1 ; J = kg dfrac {m ^ 2} {s ^ 2} ]
Realización de análisis dimensional
El uso de unidades en un cálculo para asegurar que obtenemos las unidades apropiadas finales se llama análisis dimensional . Por ejemplo, si observamos experimentalmente que la energía potencial de un objeto está relacionada con su masa, su altura desde el suelo y con una fuerza gravitacional, entonces, cuando se multiplica, las unidades de masa, altura y la fuerza de gravedad deben darnos unidades correspondiente a los de la energía.
La energía se mide típicamente en julios, calorías o electronvoltios (eV), definida por las siguientes expresiones:
- 1 J = 1 (kg · m 2 ) / s 2 = 1 coulomb · volt
- 1 cal = 4,184 J
- 1 eV = 1.602 × 10 −19 J
El análisis dimensional comienza con la búsqueda de los factores de conversión apropiados . Luego, simplemente multiplique los valores para que las unidades se cancelen teniendo unidades iguales en el numerador y el denominador. Para comprender este proceso, veamos algunos ejemplos.
Resumen
El análisis dimensional se utiliza en cálculos numéricos y en unidades de conversión. Puede ayudarnos a identificar si una ecuación está configurada correctamente (es decir, las unidades resultantes deben ser como se esperaba). Las unidades se tratan de manera similar a los valores numéricos asociados, es decir, si se supone que una variable en una ecuación es al cuadrado, entonces las dimensiones asociadas son al cuadrado, etc.
Colaboradores
- Mark Tye (Diablo Valley College)
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Mike Blaber ( Florida State University )