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La fisica y quimica

10.12: Crecimiento de corriente en un circuito que contiene inductancia

                 

Se te habrá ocurrido que si el crecimiento de la corriente en una bobina resulta en un EMF inverso que se opone al aumento de la corriente, la corriente no puede cambiar instantáneamente en un circuito que contiene inductancia. Esto es correcto. (Recuerde también que la diferencia de potencial en un circuito no puede cambiar instantáneamente en un circuito que contiene capacitancia. Ahora que lo pienso, apenas es posible que la capacitancia o inductancia de cualquier circuito sea exactamente cero; cualquier circuito real debe tener alguna capacitancia y inductancia, incluso si es muy pequeña.)

Considere el circuito de la figura X.9. Una batería de EMF (E ) está en serie con una resistencia y una inductancia. (Una bobina o solenoide o cualquier inductor en general tendrá tanto inductancia como resistencia, por lo que el (R ) y el (L ) en la Figura pueden pertenecer a un solo elemento.) Tenemos que tener mucho cuidado con [ 19459003] firma en lo que sigue.

( text {FIGURE X.9} )

Cuando el circuito está cerrado (por un interruptor, por ejemplo), fluye una corriente La dirección que se muestra. mediante una flecha, que también indica la dirección del aumento de la corriente. Se induce un EMF (L dot I ) en la dirección opuesta a ( dot I ). Por lo tanto, la ley de Ohm, o, si lo prefiere, la segunda regla de Kirchhoff, aplicada al circuito (observe las señales cuidadosamente) es

[E = IR -L dot I = 0. Label {10.12. 1} ]

Por lo tanto:

[ label {10.12.2} int_0 ^ I frac {dI} { frac {E} {R} -I} = frac {R} {L} , dt. ]

Advertencia: Algunas personas sienten una necesidad casi irresistible de escribir esto como ( int_0 ^ I frac {dI} {I- frac {E } {R}} = – frac {R} {L} , dt ).

¡No lo hagas!

Puede anticipar que el lado izquierdo va a ser un logaritmo, así que asegúrese de que el denominador sea positivo. Puede recordar una advertencia similar cuando estábamos cargando y descargando un condensador a través de una resistencia.

La integración de la ecuación ref {10.12.2} da como resultado la siguiente ecuación para el crecimiento de la corriente con el tiempo:

[I = frac {E} {R} left (1-e ^ {- (R / L) t} right). Label {10.12.3} ]

Así, la corriente se aproxima asintóticamente a su valor final de (E / R ), llegando al 63% (es decir, (1-e ^ {- 1} )) de su valor final en un tiempo (L / R ). En la Figura X.10, la corriente se muestra en unidades de (E / R ) y el tiempo en unidades de (L / R ). Debe verificar que (L / R ), que se llama constante de tiempo del circuito, tiene las dimensiones de tiempo.

( text {FIGURE X.10} )

Aquí hay un problema que dará práctica para enviar una corriente a través de un inductor, aplicando Reglas de Kirchhoff y resolución de ecuaciones diferenciales. Hay un problema similar relacionado con un condensador, en el Capítulo 5, Sección 5.19.

En el circuito anterior, mientras el interruptor está abierto, (I_1 = I_2 = E / (2 R) text {y} I_3 = 0 ). Mucho después de que se cierra el interruptor y se han alcanzado corrientes constantes, (I_1 ) será (2E / (3R) ), y (I_2 text {y} I_3 ) serán (E / ( 3R) ). Pero queremos investigar qué sucede en el breve momento mientras la corriente está cambiando.

Aplicamos las reglas de Kirchhoff:

[ label {10.12.4} E = I_1R + I_2R ]

[ label {10.12.5} I_3R + L dot I_3 -I_2R = 0 ]

[ label {10.12.6} I_1 = I_2 + I_3, ]

[Obteniendo el signo de (L dot I_3 ) justo en la ecuación ref {10.12.5} es importante. Piense en el inductor como una batería de EMF (L dot I_3 ) orientada de esta forma: .]

Elimine (I_1 text {y} I_2 ) para obtener una ecuación única en (I_3 ).

[ label {10.12.7} frac {dI_3} {dt} + frac {3R} {2L} I_3 = frac {E} {2L}. ]

[19459001 ] Esta es de la forma ( frac {dy} {dx} + ay = b ), y aquellos con experiencia en ecuaciones diferenciales no tendrán dificultades para llegar a la solución

[ label {10.12 .8} I_3 = frac {E} {3R} + Ae ^ { frac {3Rt} {2L}}. ]

Con la condición inicial de que (I_3 = 0 text {when} t = 0 ), esto se convierte en

[ label {10.12.9} I_3 = frac {E} {3R} left (1-e ^ {- frac {3Rt} {2L} } right) ]

Las otras corrientes se encuentran en las reglas de Kirchhoff (ecuaciones ref {10.12.4} -6). Los hago:

[ label {10.12.10} I_2 = frac {E} {3R} left (1+ frac {1} {2} e ^ {- frac {3Rt } {2L}} right) ]

[ label {10.12.11} I_1 = frac {E} {3R} left (2- frac {1} {2} e ^ {- frac {3Rt} {2L}} right) ]

Así (I_1 ) pasa de inicialmente ( frac {E} {2R} text {a finalmente} frac { 2E} {3R} ).

(I_2 ) va desde inicialmente ( frac {E} {2R} text {hasta finalmente} frac {E} {3R} ).

(I_3 ) pasa inicialmente de cero a finalmente ( frac {E} {3R} ).

Aquí hay gráficos de las corrientes (en unidades de (E / R )) en función del tiempo (en unidades de (2L / (3R) )).