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La fisica y quimica

10.8: Derrame y difusión molecular

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

         

  • Para comprender la importancia de la teoría cinética molecular de los gases
  •  

 

 

Ahora describimos cómo la teoría cinética molecular de los gases explica algunas de las relaciones importantes que hemos discutido anteriormente.

 

Difusión y efusión

 

Como has aprendido, las moléculas de un gas no son estacionarias, sino que están en movimiento constante y aleatorio. Si alguien abre una botella de perfume en la habitación de al lado, por ejemplo, es probable que se dé cuenta pronto. Su sentido del olfato depende de que las moléculas de la sustancia aromática entren en contacto con células olfativas especializadas en sus fosas nasales, que contienen receptores específicos (moléculas de proteínas) que reconocen la sustancia. ¿Cómo llegan las moléculas responsables del aroma del frasco de perfume a la nariz? Puede pensar que son arrastrados por corrientes de aire, pero, de hecho, las moléculas pueden moverse de un lugar a otro incluso en un entorno sin corrientes de aire.

 

La ​​difusión es la mezcla gradual de gases debido al movimiento de sus partículas componentes, incluso en ausencia de agitación mecánica como la agitación. El resultado es una mezcla de gases con composición uniforme. La difusión también es una propiedad de las partículas en líquidos y soluciones líquidas y, en menor medida, de sólidos y soluciones sólidas. El proceso relacionado, derrame , es el escape de moléculas gaseosas a través de un pequeño agujero (generalmente microscópico), como un agujero en un globo, hacia un espacio evacuado.

 

El fenómeno del derrame se conocía desde hace miles de años, pero no fue hasta principios del siglo XIX que los experimentos cuantitativos relacionaron la tasa de derrame con las propiedades moleculares. La tasa de derrame de una sustancia gaseosa es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa molar. Esta relación se conoce como Ley de Graham , después del químico escocés Thomas Graham (1805-1869). La relación de las tasas de derrame de dos gases es la raíz cuadrada de la relación inversa de sus masas molares :

 

[ dfrac { text {tasa de efusión A}} { text {tasa de efusión B}} = sqrt { dfrac {M_B} {M_A}} label {10.8.1} ]

 

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Figura ( PageIndex {1} ) para óxido de etileno y helio. El helio ( M = 4.00 g / mol) se vierte mucho más rápidamente que el óxido de etileno ( M = 44.0 g / mol). Como el helio es menos denso que el aire, los globos llenos de helio “flotan” al final de una cuerda de amarre. Desafortunadamente, los globos de goma llenos de helio pronto pierden su flotabilidad junto con gran parte de su volumen. Por el contrario, los globos de goma llenos de aire tienden a conservar su forma y volumen durante mucho más tiempo. Debido a que el helio tiene una masa molar de 4.00 g / mol, mientras que el aire tiene una masa molar promedio de aproximadamente 29 g / mol, el helio puro fluye a través de los poros microscópicos en el globo de goma ( sqrt { dfrac {29} {4.00} } = 2.7 ) veces más rápido que el aire. Por esta razón, los globos llenos de helio de alta calidad generalmente están hechos de Mylar, un material denso, fuerte y opaco con una alta masa molecular que forma películas que tienen muchos menos poros que el caucho. Por lo tanto, los globos de mylar pueden retener su helio durante días.

 

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Figura ( PageIndex {1} ) : las tasas relativas de efusión de dos gases con diferentes masas. Los átomos de He más ligeros ( M = 4.00 g / mol) se vierten a través del pequeño orificio más rápidamente que el óxido de etileno más pesado (C 2 H 4 O) moléculas ( M = 44.0 g / mol), según lo predicho por la ley de Graham.

 

 

A una temperatura dada, las moléculas más pesadas se mueven más lentamente que las moléculas más ligeras.

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Durante la Segunda Guerra Mundial, los científicos que trabajaban en la primera bomba atómica se enfrentaron al desafío de encontrar una forma de obtener grandes cantidades de ( ce {^ {235} U} ). El uranio natural es solo 0.720% ( ce {^ {235} U} ), mientras que la mayoría del resto (99.275%) es ( ce {^ {238} U} ), que no es fisionable ( es decir, no se romperá para liberar energía nuclear) y también envenena el proceso de fisión. Debido a que ambos isótopos de uranio tienen la misma reactividad, no pueden separarse químicamente. En cambio, se desarrolló un proceso de derrame gaseoso utilizando el compuesto volátil (UF_6 ) (punto de ebullición = 56 ° C).

 

         

  1. Calcule la relación de las tasas de derrame de 235 UF 6 y 238 UF 6 para un solo paso en el que UF 6 se deja pasar a través de una barrera porosa. (La masa atómica de 235 U es 235.04, y la masa atómica de 238 U es 238.05.)
  2.      

  3. Si se usa n pasos de separación sucesivos idénticos, la separación general se obtiene mediante la separación en un solo paso (en este caso, la proporción de las tasas de derrame) elevada a n [19459016 ] th poder. ¿Cuántos pasos de derrame son necesarios para obtener 99.0% puro 235 UF 6 ?
  4.  

 

Dado: contenido isotópico de uranio natural y masas atómicas de 235 U y 238 U

 

Preguntado por: relación de tasas de derrame y número de pasos de derrame necesarios para obtener 99.0% puro 235 UF 6

 

Estrategia:

 

         

  1.      

    Calcule las masas molares de 235 UF 6 y 238 UF 6 , y luego use la ley de Graham para determinar la relación de Las tasas de derrame. Utilice este valor para determinar el contenido isotópico de 235 UF 6 después de un solo paso de efusión.

         

  2.      

  3.      

    Divida la pureza final por la pureza inicial para obtener un valor para el número de pasos de separación necesarios para lograr la pureza deseada. Use una expresión logarítmica para calcular el número de pasos de separación requeridos.

         

  4.  

 

Solución:

 

A El primer paso es calcular la masa molar de UF 6 que contiene 235 U y 238 U. Afortunadamente para el éxito del método de separación, El flúor consiste en un único isótopo de masa atómica 18.998. La masa molar de 235 UF 6 es

 

234.04 + (6) (18.998) = 349.03 g / mol

 

La masa molar de 238 UF 6 es

 

238.05 + (6) (18.998) = 352.04 g / mol

 

La diferencia es de solo 3.01 g / mol (menos del 1%). La proporción de las tasas de derrame se puede calcular a partir de la ley de Graham usando la ecuación ( ref {10.8.1} ): [ rm dfrac { text {rate} ^ {235} UF_6} { text {rate} ^ {238} UF_6} = sqrt { dfrac {352.04 ; g / mol} {349.03 ; g / mol}} = 1.0043 ]

 

B Para obtener 99.0% puro 235 UF 6 requiere muchos pasos. Podemos establecer una ecuación que relacione la pureza inicial y final con el número de veces que se repite el proceso de separación:

 

pureza final = (pureza inicial) (separación) n

 

En este caso, 0.990 = (0.00720) (1.0043) n , que se puede reorganizar para dar

 

[1.0043 ^ n = dfrac {0.990} {0.00720} = 137.50 ]

 

Tomando el logaritmo de ambos lados da

 

[ begin {align} n ln (1.0043) & = ln (137.50) \ [4pt] n & = dfrac { ln (137.50)} { ln (1.0043)} \ [ 4pt] & = 1148 end {align} ]

 

Por lo tanto, se necesitan al menos mil pasos de efusión para obtener un alto enriquecimiento 235 U. A continuación se muestra una pequeña parte de un sistema que se utiliza para preparar uranio enriquecido a gran escala.

 

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Una porción de una planta para separar isótopos de uranio por efusión de UF 6. Los objetos cilíndricos grandes (tenga en cuenta la escala humana) se denominan difusor (en realidad difusor) unidades, en las que se bombea UF gaseoso 6 a través de una barrera porosa para separar parcialmente los isótopos. El UF 6 debe pasarse a través de múltiples unidades para enriquecerse sustancialmente en 235 U.

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

El helio consta de dos isótopos: 3 Él (abundancia natural = 0,000134%) y 4 Él (abundancia natural = 99,999866%). Sus masas atómicas son 3.01603 y 4.00260, respectivamente. Helium-3 tiene propiedades físicas únicas y se utiliza en el estudio de temperaturas ultrabajas. Está separado del más abundante 4 Él por un proceso de derrame gaseoso.

 

         

  1. Calcule la relación de las tasas de derrame de 3 Él y 4 Él y, por lo tanto, el enriquecimiento posible en un solo paso de efusión.
  2.      

  3. ¿Cuántos pasos de derrame son necesarios para producir 99.0% puro 3 Él?
  4.  

 

     

Responda a

     

     

relación de tasas de derrame = 1,15200; un paso da 0.000154% 3 Él

     

     

Respuesta b

     

     

96 pasos

     

 

 

 

Tasas de difusión o efusión

 

La ley de Graham es una relación empírica que establece que la relación de las tasas de difusión o efusión de dos gases es la raíz cuadrada de la relación inversa de sus masas molares. La relación se basa en el postulado de que todos los gases a la misma temperatura tienen la misma energía cinética promedio. Podemos escribir la expresión para la energía cinética promedio de dos gases con diferentes masas molares:

 

[KE = dfrac {1} {2} dfrac {M _ { rm A}} {N_A} v _ { rm rms, A} ^ 2 = dfrac {1} {2} dfrac { M _ { rm B}} {N_A} v _ { rm rms, B} ^ 2 label {10.8.2} ]

 

Multiplicando ambos lados por 2 y reorganizando da

 

[ dfrac {v _ { rm rms, B} ^ 2} {v _ { rm rms, A} ^ 2} = dfrac {M _ { rm A}} {M _ { rm B}} label {10.8.3} ]

 

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados da

 

[ dfrac {v _ { rm rms, B}} {v _ { rm rms, A}} = sqrt { dfrac {M _ { rm A}} {M _ { rm B}}} label {10.8.4} ]

 

Por lo tanto, la velocidad a la que una molécula, o un mol de moléculas, se difunde o efunde está directamente relacionada con la velocidad a la que se mueve. La ecuación ( ref {10.8.4} ) muestra que la ley de Graham es una consecuencia directa del hecho de que las moléculas gaseosas a la misma temperatura tienen la misma energía cinética promedio.

 

Típicamente, las moléculas gaseosas tienen una velocidad de cientos de metros por segundo (cientos de millas por hora). El efecto de la masa molar en estas velocidades es dramático, como se ilustra en la Figura ( PageIndex {3} ) para algunos gases comunes. Debido a que todos los gases tienen la misma energía cinética promedio, de acuerdo con la distribución de Boltzmann , las moléculas con masas más bajas, como el hidrógeno y el helio, tienen una distribución de velocidades más amplia.

 

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Figura ( PageIndex {3} ): La amplia variación en las velocidades moleculares observadas a 298 K para gases con diferentes masas molares

 

Los gases más ligeros tienen una distribución más amplia de velocidades y las velocidades medias más altas.

 

 

Las moléculas con masas más bajas tienen una distribución más amplia de velocidades y una velocidad promedio más alta.

 

 

Las moléculas de gas no se difunden casi tan rápido como podrían sugerir velocidades muy altas. Si las moléculas realmente se movieran a través de una habitación a cientos de millas por hora, detectaríamos los olores más rápido de lo que escuchamos el sonido. En cambio, nos puede tomar varios minutos detectar un aroma porque las moléculas viajan en un medio con otras moléculas de gas. Debido a que las moléculas de gas chocan tan a menudo como 10 10 veces por segundo, cambiando la dirección y la velocidad con cada colisión, no se difunden a través de una habitación en línea recta, como se ilustra esquemáticamente en la Figura ( PageIndex {4 } ).

 

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Figura ( PageIndex {4} ) : La ruta de una única partícula en una muestra de gas. Los frecuentes cambios de dirección son el resultado de colisiones con otras moléculas de gas y con las paredes del contenedor.

 

La distancia promedio recorrida por una molécula entre colisiones es la ruta libre media . Cuanto más denso es el gas, más corto es el camino libre medio; a la inversa, a medida que disminuye la densidad, el camino libre medio se alarga porque las colisiones ocurren con menos frecuencia. A 1 atm de presión y 25 ° C, por ejemplo, una molécula de oxígeno o nitrógeno en la atmósfera viaja solo alrededor de 6.0 × 10 −8 m (60 nm) entre colisiones. En la atmósfera superior a unos 100 km de altitud, donde la densidad del gas es mucho más baja, la trayectoria libre media es de unos 10 cm; en el espacio entre galaxias, puede ser tan largo como 1 × 10 10 m (aproximadamente 6 millones de millas).

 

 

El más denso el gas, el más corto el camino libre medio.

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Calcule la velocidad eficaz de una muestra -buteno (C 4 H 8 ) a 20 ° C.

 

Dado: compuesto y temperatura

 

Preguntado por: velocidad eficaz

 

Estrategia:

 

Calcule la masa molar de cis-2-buteno. Asegúrese de que todas las cantidades se expresen en las unidades apropiadas y luego use la ecuación 10.8.5 para calcular la velocidad eficaz del gas.

 

Solución:

 

Para usar la ecuación 10.8.4, necesitamos calcular la masa molar de cis -2-buteno y asegurarnos de que cada cantidad se exprese en las unidades apropiadas. El buteno es C 4 H 8 , por lo que su masa molar es 56,11 g / mol. Así

 

[ begin {align} u _ { rm rms} & = sqrt { dfrac {3RT} {M}} \ [4pt] & = rm sqrt { dfrac {3 times8.3145 ; dfrac {J} {K cdot mol} times (20 + 273) ; K} {56.11 times10 ^ {- 3} ; kg}} \ [4pt] & = 361 ; m / s end {align} ]

 

o aproximadamente 810 mi / h.

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Calcule la velocidad eficaz de una muestra de gas radón a 23 ° C.

 

     

Respuesta:

     

     

(1.82 veces 10 ^ 2 ; m / s ) (aproximadamente 410 mi / h)

     

 

 

 

La teoría cinética molecular de los gases demuestra cómo una teoría exitosa puede explicar las relaciones empíricas (leyes) observadas previamente de una manera intuitivamente satisfactoria. Desafortunadamente, los gases reales que encontramos no son “ideales”, aunque su comportamiento generalmente se aproxima al de un gas ideal.

 

Resumen

 

         

  • La teoría cinética molecular de los gases proporciona una explicación molecular de las observaciones que condujeron al desarrollo de la ley de los gases ideales.
  •      

  • Energía cinética promedio: [ overline {e_K} = dfrac {1} {2} m {u _ { rm rms}} ^ 2 = dfrac {3} {2} dfrac {R} {N_A} T, ]
  •      

  • Velocidad cuadrática media raíz: [u _ { rm rms} = sqrt { dfrac {u_1 ^ 2 + u_2 ^ 2 + cdots u_N ^ 2} {N}}, ]
  •      

  • Teoría cinética molecular de los gases : [u _ { rm rms} = sqrt { dfrac {3RT} {M}}. ]
  •      

  • Ley de Graham para el derrame: [ dfrac {v _ { rm rms, B}} {v _ { rm rms, A}} = sqrt { dfrac {M _ { rm A }} {M _ { rm B}}} ]
  •  

 

La difusión es la mezcla gradual de gases para formar una muestra de composición uniforme incluso en ausencia de agitación mecánica. En contraste, derrame es el escape de un gas desde un contenedor a través de una pequeña abertura hacia un espacio evacuado. La tasa de derrame de un gas es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa molar ( Ley de Graham ), una relación que se aproxima mucho a la tasa de difusión. Como resultado, los gases ligeros tienden a difundirse y derramarse mucho más rápidamente que los gases más pesados. La ruta libre media de una molécula es la distancia promedio que viaja entre colisiones.