Hemos tratado en Capítulo 13 con un voltaje variable sinusoidal aplicado a una inductancia, una resistencia y una capacitancia en serie. La ecuación que gobierna la relación entre voltaje y corriente es
[V = L dot I + RI + Q / C. Label {14.10.1} ]
Si multiplicamos por (C ), diferenciamos con respecto al tiempo y escribimos (I ) para ( dot Q ) , esto se convierte en solo
[C dot V = LC ddot I + RC dot I + I. label {14.10.2} ]
Si suponemos que el voltaje aplicado (V ) varía sinusoidalmente (es decir, (V = hat {V} e ^ {j omega t} ), [19459006 ] o, si lo prefiere, (V = hat {V} sin omega t ) ), entonces el operador (d ^ 2 / dt ^ 2 ), o “doble punto”, es equivalente a multiplicar por (- omega ^ 2 ), y el operador (d / dt ), o “punto”, es equivalente a multiplicar por (j omega ) . Por lo tanto, la ecuación ref {14.10.2} es equivalente a
[j omega CV = -LC omega ^ 2I + jRC omega I + I. label {14.10.3} ]
Es decir, [V = [R + jL omega + 1 / jC omega] I. label {14.10.4} ]
La expresión compleja dentro de los corchetes es la impedancia ahora familiar Z , y podemos escribir
[V = IZ. Label {14.10.5} ]
¿Pero qué pasa si (V ) no varía sinusoidalmente ? Supongamos que (V ) varía de alguna otra manera, ¿tal vez ni siquiera periódicamente? Esto podría incluir, como un posible ejemplo, la situación en la que (V ) es constante y no varía en absoluto con el tiempo. Pero si (V ) varía o no con el tiempo, la ecuación ref {14.10.2} sigue siendo válida, excepto que, a menos que la variación de tiempo sea sinusoidal, no podemos sustituir (j omega ) para (d / dt ). Tenemos que resolver la ecuación diferencial ref {14.10.2}.
Pero acabamos de aprender una nueva forma clara de resolver ecuaciones diferenciales de este tipo. Podemos tomar la transformada de Laplace de cada lado de la ecuación. Así
[C bar { dot V} = LC bar { ddot I} + RC bar { dot I} + bar {I}. Label {14.10.6} ]
Ahora vamos a utilizar el teorema de diferenciación, las ecuaciones 14.7.2 y 14.7.3.
[C (s bar {V} -V_0) = LC (s ^ 2 bar {I} – sI_0 – dot I_0) + RC (s bar {I} – I_0) + bar { I}. Label {14.10.7} ]
Supongamos que, en (t = 0 ), (V_0 ) y (I_0 ) son ambos cero, es decir, antes de (t = 0 ) un interruptor estaba abierto, y cerramos el interruptor en (t = 0 ). Además, dado que el circuito contiene inductancia, la corriente no puede cambiar instantáneamente y, dado que contiene capacitancia, el voltaje no puede cambiar instantáneamente, entonces [ 19459003] la ecuación se convierte en
[ bar {V} = (R + Ls + 1 / Cs) bar {I}. Label {14.10.8} ]
Esto es así independientemente de la forma de la variación de (V ): podría ser sinusoidal, podría ser constante o podría ser algo muy diferente. Esta es una ley de Ohm generalizada . La impedancia generalizada del circuito es (R + Ls + frac {1} {Cs} ). Recuerde que en el tratamiento de números complejos de un voltaje sinusoidal en estado estacionario, la impedancia compleja era (R + jL omega + frac {1} {jCw} ).
Para averiguar cómo varía la corriente, todo lo que tenemos que hacer es tomar la transformada inversa de Laplace de
[ bar {I} = frac { bar {V}} {R + Ls + 1 / (Cs)}. Label {14.10.9} ]
Vemos un par de ejemplos en las siguientes secciones.