Una batería de constante ( text {EMF} V ) está conectada a un interruptor, y un (R ), (L ) y (C ) en serie . El interruptor está cerrado en el momento (t = 0 ). Primero resolveremos este problema por métodos “convencionales”; entonces por Laplace se transforma. El lector que esté familiarizado con la mecánica del movimiento oscilatorio amortiguado, como se trata en Capítulo 11 de las notas de Mecánica clásica de esta serie, puede tener una ventaja sobre el lector para quien este tema es nuevo: ¡aunque no necesariamente así!
“Ley de Ohm” es
[V = Q / C + RI + L dot I, label {14.11.1} ]
o
[LC ddot Q + RC dot Q + Q = CV. label {14.11.2} ]
Los que estén familiarizados con este tipo de ecuación reconocerán que la solución general (función complementaria más integral particular) es
[Q = Ae ^ { lambda _1t} + Be ^ { lambda_2t} + CV, label {14.11.3} ]
donde
[ lambda _1 = – frac {R} {2L} + sqrt { frac {R ^ 2} {4L ^ 2} – frac {1} {LC}} ]
y
[ lambda _2 = – frac {R} {2L} – sqrt { frac {R ^ 2} {4L ^ 2} – frac {1} {LC}} . label {14.11.4} ]
(Aquellos que no estén familiarizados con la solución de ecuaciones diferenciales de este tipo no deberían darse por vencidos aquí. Simplemente pase a la parte en la que hacemos esto mediante transformaciones de Laplace. Pronto se irá rayando por delante de tus colegas más sabios, que estarán luchando por un tiempo.)
( frac {R ^ 2} {4L ^ 2} – frac {1} {LC} ) es positivo. Para abreviar voy a escribir Ecuaciones ref {14.11.4} como
[ lambda_1 = -a + k text {y} lambda_2 = -a – k. label {14.11.5} ]
Entonces
[Q = Ae ^ {- (ak) t} + Be ^ {- (a + k) t} + CV label {14.11.6} ] [19459006 ]
y, por diferenciación con respecto al tiempo,
[I = -A (ak) e ^ {- (ak) t} -B (a + k) e ^ {- (a + k) t}. Label {14.11.7} ] [ 19459007]
En (t = 0 ), (Q ) y (I ) son ambos cero, de donde encontramos que
[A = – frac {(a + k) CV} {2k} text {y} B = frac {(ak) CV} {2k}. Label {14.11.8} ]
Así
[Q = left [- left ( frac {a + k} {2k} right) e ^ {- (ak) t} + left ( frac {ak } {2k} right) e ^ {- (a + k) t} +1 right] CV label {14.11.9} ]
y
[I = left [ left ( frac {a ^ 2-k ^ 2} {2k} right) left (e ^ {- (ak) t} – e ^ {- (a + k) t} right) right] CV. label {14.11.10} ]
Al recordar los significados de (a ) y (k ) y la función sinh, y un poco de álgebra, obtenemos
[I = frac {V} {Lk} e ^ {- at} sinh kt. label {14.11.11} ]
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Verifique que E quation ref {14.11.11} sea d inmensamente correcto. Dibuja una gráfica de (I ): (t ). La corriente es, por supuesto, cero en (t = 0 ) y ( infty ). ¿Cuál es la corriente máxima y cuándo ocurre?
( frac {R ^ 2} {4L ^ 2} – frac {1} {LC} ) es cero. En este caso, aquellos que están en la práctica con ecuaciones diferenciales obtendrán la solución general
[Q = e ^ { lambda t} (A + Bt) + CV, label {14.11.12} ]
donde [ lambda = -R / (2L), label {14.11.13} ]
de donde [I = lambda (A + Bt) e ^ { lambda t} + Be ^ { lambda t}. label {14.11.14} ]
Después de aplicar las condiciones iniciales que Q y I son inicialmente cero, obtenemos
[Q = CV left [1- left (1- frac {Rt} {2L} right) e ^ {- Rt / (2L)} right] label {14.11.15} ]
y
[I = frac {V} {L} t e ^ {- Rt / (2L)}. label {14.11.16} ]
Como en el caso II, esto comienza y termina en cero y pasa por un máximo, y es posible que desee calcular cuál es la corriente máxima y cuándo ocurre.
( frac {R ^ 2} {4L ^ 2} – frac {1} {LC} ) es negativo. En este caso, voy a escribir las ecuaciones 14.11.4 como
[ lambda_1 = -a + j omega text {y} lambda_2 = -a – j omega, label {14.11.17} ]
donde [a = frac {R} {2L} text {y} omega ^ 2 = frac {1} {LC} – frac {R ^ 2} {4L ^ 2}. label {14.11.18} ]
Todo lo que es necesario, entonces, es repetir el análisis para el Caso I, pero sustituir (- omega ^ 2 ) (k ^ 2 ) y (j omega ) para (k ), y, siempre que sepa que ( sinh j omega t = j sin omega t ), terminas con
[I = frac {V} {L omega} e ^ {- at} sin omega t. label {14.11.19} ]
Este es un movimiento oscilatorio ligeramente amortiguado.
Ahora intentemos el mismo problema usando transformadas de Laplace. Recuerde que tenemos un (V ) en serie con un (R ), (L ) y (C ), y que inicialmente (Q, I text {y} dot I ) son todos cero. (El circuito contiene capacitancia, entonces (Q ) no puede cambiar instantáneamente; contiene inductancia, entonces (I ) no puede cambiar instantáneamente.)
Inmediatamente, automáticamente y sin apenas pensar, nuestra primera línea es la ley generalizada de Ohm, con las transformadas de Laplace de (V ) y (I ) La impedancia generalizada:
[ bar {V} = [R + Ls + 1 / (Cs)] bar {I}. label {14.11.20} ]
Dado que (V ) es constante, la referencia a la primera entrada en su tabla de transformaciones muestra que ( bar {V} = V / s ), y así
[ bar {I} = frac {V} {s [R + Ls + 1 / (Cs)]} = frac {V} {L (s ^ 2 + bs + c)}, etiqueta {14.11.21} ]
donde [b = R / L text {y} c = 1 / (LC). label {14.11.22} ]
Caso I. (b ^ 2> 4c. )
[ bar {I} = frac {V} {L} left ( frac {1} {(s- alpha) (s- beta)} right) = frac {V} {L} left ( frac {1} { alpha – beta} right) left ( frac {1} {s- alpha} – frac {1} {s- beta} right) . label {14.11.23} ]
Aquí, por supuesto, [2 alpha = -b + sqrt {b ^ 2-4c} text {and} 2 beta = -b – sqrt {b ^ 2 – 4c} label {14.11.24} ]
Al tomar las transformadas inversas, encontramos que
[I = frac {V} {L} left ( frac {1} { alpha – beta} right) (e ^ { alpha t} – e ^ { beta t}) . label {14.11.25} ]
A partir de ahí, es cuestión de álgebra de rutina (¡hazlo!) Mostrar que esto es exactamente lo mismo que la Ecuación ref {14.11.11}.
Para llegar a este resultado, no era necesario saber cómo resolver ecuaciones diferenciales. Todo lo que era necesario era comprender la impedancia generalizada y buscar una tabla de transformadas de Laplace.
Caso II. (b ^ 2 = 4c ).
En este caso, la ecuación ref {14.11.21} tiene la forma
[ bar {I} = frac {V} {L} cdot frac {1} {(s- alpha) ^ 2}, label {14.11.26} ]
donde ( alpha = – frac {1} {2} b ). Si ha ampliado debidamente su tabla original de transformaciones de Laplace, como se sugiere, probablemente ya tendrá una entrada para la transformación inversa del lado derecho. Si no, sabe que la transformada de Laplace de (t ) es (1 / s ^ 2 ), por lo que puede aplicar el teorema de desplazamiento para ver que la transformada de Laplace de (te ^ { alpha t} ) es (1 / (s- alpha) ^ 2 ). Así
[I = frac {V} {L} t e ^ { alpha t} label {14.11.27} ]
que es lo mismo que la ecuación ref {14.11.16}.
[Gosh: ¿qué podría ser más rápido y más fácil que eso?]
Caso III. (b ^ 2 <4c ).
Esta vez, completaremos el cuadrado en el denominador de la ecuación ref {14.11.21}:
[ bar {I} = frac {V} {L} cdot frac {1} {(s + frac {1} {2} b) ^ 2 + (c- frac {1} {4} b ^ 2)} = frac {V} {L omega} frac { omega} {(s + frac {1} {2} b) ^ 2 + omega ^ 2}, label { 14.11.28} ]
donde presenté ( omega ) con notación obvia.
Al tomar la transformación inversa (de nuestra tabla, con un poco de ayuda del teorema de desplazamiento) obtenemos
[I = frac {V} {L omega} cdot e ^ {- frac {1} {2} bt} sin omega t, label {14.11.29} ] [19459007 ]
que es lo mismo que la ecuación ref {14.11.19}.
Con este breve capítulo introductorio a la aplicación de transformadas de Laplace a los circuitos eléctricos, acabamos de abrir una puerta por una pequeña grieta para vislumbrar la gran potencia potencial de este método. Con la práctica, se puede utilizar para resolver problemas complicados de muchos tipos con gran rapidez. Todo lo que tenemos hasta ahora es un pequeño vistazo. Terminaré este capítulo con solo un ejemplo más, con la esperanza de que esta breve introducción despertará el apetito del lector para aprender más sobre esta técnica.