Primer teorema de integración
El teorema es:
[ textbf {L} int_0 ^ ty (x) dx = frac { bar {y} (s)} {s}. ] [ 19459030]
Antes de derivar este teorema, aquí hay un ejemplo rápido para mostrar lo que significa. El teorema es más útil, como en este ejemplo, para encontrar una inversa transformada de Laplace, es decir,
[ textbf {L} ^ {- 1} frac { bar {y} (s)} {s} = int_0 ^ ty (x) dx. ] [19459034 ]
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Calcular
[ textbf {L} ^ {- 1} frac {1} {s (s-a)}. ]
Solución
En la tabla, vemos que ( textbf {L} ^ {- 1} frac {1} {s-a} = e ^ {at} ). El teorema de integración nos dice que
[ textbf {L} ^ {- 1} frac {1} {s (sa)} = int_o ^ te ^ {ax} dx = (e ^ {at} -1) / a. ]
Ahora debe verificar que esta sea la respuesta correcta sustituyéndola en la Ecuación 14.1.2 e integrando – o (y!) Usando la tabla de transformadas de Laplace.
Prueba
La prueba del teorema es solo una cuestión de integrarse por partes . Así
[ begin {align} textbf {L} int_0 ^ ty (x) dx & = int_0 ^ infty left ( int_0 ^ ty (x) dx right) e ^ {- st} dt = – frac {1} {s} int_0 ^ infty left ( int_0 ^ ty (x) dx right) d left (e ^ {- st} right) \ & = left [ – frac {1} {s} e ^ {- st} int_0 ^ ty (x) dx right] ^ infty_ {t = 0} + frac {1} {s} int_0 ^ infty e ^ {-st} y (t) dt. end {align} ]
La expresión entre paréntesis es cero en ambos límites, y por lo tanto se demuestra el teorema.