Este teorema se parece mucho al primer teorema de integración, pero “al revés”. Es
[ textbf {L} left ( frac {y (t)} {t} right) = int_s ^ infty bar {y} (x) dx. ]
Dejaré que el lector deduzca el teorema. Aquí solo doy un ejemplo de su uso. Mientras que el primer teorema de integración es más útil para encontrar transformaciones inversas, el segundo teorema de integración es más útil para encontrar transformaciones directas.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Calcular
[ textbf {L} left ( frac { sin at} {t} right). ]
Solución
Esto significa calcular
[ int_0 ^ infty frac {e ^ {- st} sin at} {t} dt. ]
Si bien esta integral, sin duda, se puede hacer, puede resultar un poco desalentador, y el segundo teorema de integración proporciona una forma alternativa de hacerlo, lo que resulta en una integral más fácil.
Tenga en cuenta que el lado derecho de la ecuación 14.4.1 es una función de (s ), no de (x ), que es solo una variable ficticia. La función ( bar {y} (x) ) es la transformación de Laplace, con (x ) como argumento, de (y (t) ). En nuestro caso particular, (y (t) ) es ( sin at ), de modo que, de la tabla, ( bar {y} (x) = frac {a} {a ^ 2 + x ^ 2} ). El segundo teorema de integración, entonces, nos dice que ( textbf {L} left ( frac { sin at} {t} right) = int_s ^ infty frac {a} {a ^ 2 + x ^ 2} dx ). Esta es una integral mucho más fácil. Es ( left [ tan ^ {- 1} left ( frac {x} {a} right) right] _s ^ infty = frac { pi} {2} – tan ^ { -1} left ( frac {s} {a} right) = tan ^ {- 1} left ( frac {a} {s} right) ). Es posible que desee agregar este resultado a su tabla de integrales de Laplace. De hecho, es posible que ya desee expandir la tabla considerablemente aplicando ambos teoremas de integración a varias funciones.