Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resolver ( dot y + 2y = 3te ^ t ) con condición inicial (y_0 = 0 )
Solución
Si tiene buenas prácticas para resolver este tipo de ecuación, probablemente lo multiplicará por (e ^ {2t} ), para que se convierta en [ 19459030]
[ frac {d} {dt} left (ye ^ {2t} right) = 3te ^ {3t}, ]
del cual
(y = (t- frac {1} {3}) e ^ t + Ce ^ {- 2t}. )
(Ahora puede sustituir esto de nuevo en la ecuación diferencial original, para verificar que es realmente la solución correcta).
Con la condición inicial dada, se descubre rápidamente que (C = frac {1} {3} ) para que la solución sea
[y = te ^ t – frac {1} {3} e ^ t + frac {1} {3} e ^ {- 2t}. ]
Ahora, aquí está la misma solución, usando transformadas de Laplace.
Tomamos la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación diferencial original:
[s bar {y} +2 bar {y} = 3 textbf {L} (te ^ t) = frac {3} {(s-1) ^ 2}. ] [19459030 ]
Así
[ bar {y} = frac {3} {(s + 2) (s-1) ^ 2}. ]
Fracciones parciales:
[ bar {y} = frac {1} {3} left ( frac {1} {s + 2} right) – frac {1} {3} left ( frac {1} {s-1} right) + frac {1} {(s-1) ^ 2}. ]
Transformaciones inversas:
[y = frac {1} {3} e ^ {- 2t} – frac {1} {3} e ^ t + te ^ t. ] [ 19459034]
Probablemente admitirás que puedes seguir esto, pero dirás que puedes hacerlo a velocidad solo después de mucha práctica con muchas ecuaciones similares. Pero esto es igualmente cierto para el primer método, también.