Un libro dice que el ancho equivalente (W ), en unidades de longitud de onda, de una línea de espectro, está relacionado con el número de átomos por unidad de área en la línea de visión, (N ), en [19459002 ]
[W = frac { pi e ^ 2 N lambda ^ 2} {mc ^ 2}. ]
¿Esta fórmula está bien en cualquier sistema ¿de unidades? ¿Puedo usar unidades SI en el lado derecho y obtener la respuesta en metros? ¿O debo usar un conjunto particular de unidades para obtener la respuesta correcta? Y si es así, ¿qué unidades?
Un libro dice que la velocidad a la que se irradia energía, (P ), desde una carga de aceleración es
[P = frac {2e ^ 2 ddot x ^ 2 } {c ^ 3}. ]
¿Es esto correcto? ¿Es (c ) la velocidad de la luz, o es simplemente un factor de conversión entre diferentes unidades? ¿O es uno de los (c ) s un factor de conversión, y los otros dos son la velocidad de la luz?
Es posible encontrar la respuesta a preguntas tan desconcertantes, si hacemos un poco de análisis dimensional. Entonces, antes de tratar de responder estas preguntas específicas (que haré luego como ejemplos) voy a presentar una tabla de dimensiones. Ya di una tabla de dimensiones de cantidades eléctricas en el Capítulo 11, en términos de ( text {M, L, T} ) y ( text {Q} ), pero esa tabla no será particularmente útil en el contexto actual
Señalé en la Sección 16.1 del presente capítulo que la ley de Coulomb a menudo se escribe en la forma
[F = frac {Q_1Q_2} {r ^ 2}. ] [19459002 ]
En consecuencia, las dimensiones de (Q ) se consideran ([Q] = text {M} ^ {1/2} text {L} ^ {3/2} text {T} ^ {- 1} ). Pero sabemos que falta una permitividad en el denominador de la ecuación 16.6.3, porque el escritor pretende que su fórmula esté restringida a un conjunto particular de unidades tales como (k ) o (4 pi epsilon_0 = 1 ) Para detectar si se ha omitido una permitividad de una ecuación, necesitamos una tabla en la que las dimensiones de las cantidades eléctricas no se den en términos de ( text {M, L, T} ) y ( text { Q} ) como en el Capítulo 11, pero en términos de ( text {M, L, T} ) y ( epsilon ), y esto es lo que estoy a punto de hacer. Sin embargo, a menudo es la permeabilidad lo que se ha omitido de una ecuación y, para detectar si esto es así, también proporciono una tabla en la que se dan las dimensiones de las cantidades eléctricas en términos de ( text {M, L, T} ) y ( mu ).
Si, a partir del análisis dimensional, encuentra que una expresión es dimensionalmente incorrecta por un poder de la permitividad, inserte (4 pi epsilon_0 ) en la parte apropiada de la ecuación. Si encuentra que una expresión es dimensionalmente incorrecta por el poder de la permeabilidad, inserte ( mu_0 / (4 pi) ) en la parte apropiada de la ecuación. Si encuentra que la ecuación es incorrecta por ( text {LT} ^ {- 1} ), inserte o elimine (c ) según corresponda. Su ecuación se equilibrará dimensionalmente y estará lista para usar en cualquier sistema coherente de unidades, incluido el SI. Este procedimiento probablemente funcionará en la mayoría de los casos, pero no puedo garantizar que funcionará en todos los casos, porque no puede tratar esos casos (¡frecuentes!) En los que la fórmula dada es completamente incorrecta, ¡independientemente de las unidades que se utilicen!
Ahora veamos la ecuación para el ancho equivalente de una línea de espectro:
[ nonumber W = frac { pi e ^ 2 N lambda ^ 2} {mc ^ 2}. tag {16.6.1} ]
Aquí ([W] = text {L} ) y ([N] = text {L} ^ {- 2} ). Al hacer uso de la tabla, encontramos que las dimensiones del lado derecho son ( text {L} epsilon ). Por lo tanto, falta un (4 pi epsilon_0 ) en el denominador, y la ecuación debe ser
[W = frac { pi e ^ 2 N lambda ^ 2} {4 pi epsilon_0 mc ^ 2}. ]
¿Qué tal la velocidad a la que se irradia energía de una carga de aceleración?
[ nonumber P = frac {2e ^ 2 ddot x ^ 2} {c ^ 3}. tag {16.6.2} ]
El poder tiene dimensiones ( text {ML} ^ 2 text {T} ^ {- 3} ), mientras que las dimensiones del lado derecho son ( text {ML} ^ 2 text {T} ^ {- 3} epsilon ), por lo que nuevamente falta un (4 pi epsilon_0 ) en el denominador y la fórmula debería ser
[ 19459001] [P = frac {2 e ^ 2 ddot x ^ 2} {4 pi epsilon_0 c ^ 3}. ]
A menudo ocurre que hay un (4 pi epsilon_0 ) falta en el denominador son las fórmulas que tienen un (e ^ 2 ) arriba.
Las fórmulas “electromagnéticas” a menudo dan más dificultad. Por ejemplo, un libro dice que la energía por unidad de volumen en un campo magnético en vacío es ( frac {B ^ 2} {8 pi} ), mientras que otro dice que es ( frac {H ^ 2} {8 pi} ). ¿Cuál es (si de hecho lo es)? La energía por unidad de volumen tiene dimensiones ( text {ML} ^ {- 1} text {T} ^ {- 2} ). Las dimensiones de (B ^ 2 ) son ( text {ML} ^ {- 1} text {T} ^ {- 2} mu ). La ecuación dada es, por lo tanto, errónea dimensionalmente por la permeabilidad, y la ecuación debe dividirse entre ( mu_0 / (4 pi) ) para dar (B ^ 2 / (2 mu_0) ), lo cual es correcto. Por otro lado, las dimensiones de (H ^ 2 ) son ( text {ML} ^ {- 1} text {T} ^ {- 2} mu ^ {- 1} ), entonces quizás deberíamos multiplicar por ( mu_0 / (4 pi) )? Pero esto no da una respuesta correcta, y ejemplifica algunas de las muchas dificultades causadas por escribir fórmulas que no se equilibran dimensionalmente y están destinadas a usarse solo con un conjunto particular de unidades. La situación es particularmente difícil con respecto al momento magnético , un tema al que dedicaré el próximo capítulo.