Esta sección requiere que el lector esté familiarizado con las funciones de una variable compleja y transformaciones conformes. Para los lectores que no estén familiarizados con estos, esta sección se puede omitir sin perjuicio de comprender los siguientes capítulos. Para los lectores que están familiarizados, este es un buen ejemplo de transformaciones conformales para resolver un problema físico.
( text {FIGURE II.5} )
Tenemos dos electrodos semicilíndricos como se muestra en la Figura (II ). 5. El potencial del superior es 0 y el potencial del inferior es (V_0 ). Supondremos que el radio del círculo es 1; o, lo que equivale a lo mismo, expresaremos las coordenadas (x ) y (y ) en unidades del radio. Representemos la posición de cualquier punto cuyas coordenadas son ( x, y ) por un número complejo (z = x + iy ).
Ahora dejemos que (w = u + iv ) sea un número complejo relacionado con (z ) por (w = i left ( frac {1-z} {1 + z} Correcto )); es decir, (z = frac {1+ iw} {1- iw} ). Sustituya (w = u + iv text {y} z = x + iy ) en cada una de estas ecuaciones, y equipare partes reales e imaginarias, para obtener
[ begin {align} label {2.6.1} u & = frac {2y} {(1 + x) ^ 2 + y ^ 2}; quad quad && v = frac {1-x ^ 2 + y ^ 2} {(1 + x ) ^ 2 + y ^ 2}; \ x & = frac {1-u ^ 2-v ^ 2} {u ^ 2 + (1 + v) ^ 2}; && y = frac {2u} {u ^ 2 + (1 + v) ^ 2}. label {2.6.2} end {align} ]
En ese caso, el semicírculo superior ( (V = 0) ) en el plano (xy ) – se asigna al eje positivo (u ) – en el plano (uv ) -, y al semicírculo inferior ((V = V_0) ) en el plano (xy ) – se asigna al eje negativo (u ) – en el plano (uv ). (Figura (II ). 6.) Puntos dentro del círculo delimitados por los electrodos en el plano (xy ) – mapa en puntos sobre el eje (u ) – en el plano (uv ) – .
( text {FIGURE II.6} )
En el plano (uv ), las líneas de fuerza son semicírculos, como el se muestra uno El potencial va de 0 en un extremo del semicírculo a (V_0 ) en el otro, por lo que la ecuación a la línea de fuerza semicircular es
[ label {2.6.3} frac {V } {V_0} = frac { text {arg} , w} { pi} ]
o
[ label {2.6.4} V = frac { V_0} { pi} tan ^ {- 1} (v / u). ]
Los equipotenciales ( (V ) = constante) son líneas rectas en el plano (uv ) de la forma
[ label {2.6.5} v = fu. ]
(Preferiría que use el símbolo (m ) para la pendiente de los equipotenciales , pero en un momento se alegrará de que haya elegido el símbolo (f ).)
Si ahora nos transformamos de nuevo al plano (xy ), vemos que la ecuación a las líneas de fuerza es
[ label {2.6.6} V = frac {V_0} { pi} tan ^ {- 1} left ( frac {1-x ^ 2-y ^ 2} {2y} right). ]
y la ecuación de los equipotenciales es
[ label {2.6.7} 1-x ^ 2-y ^ 2 = 2fy , ] [19459 002]
o
[ label {2.6.8} x ^ 2 + y ^ 2 + 2fy-1 = 0 ]
Ahora no estás contento de que yo eligió (f )? Aquellos que sean hábiles con secciones cónicas (ver Capítulo 2 de Mecánica celestial) comprenderán que los equipotenciales en el plano (xy ) – son círculos de radios ( sqrt {f ^ 2 + 1} ), cuyos centros son en ((0, pm f) ), y todos pasan por los puntos (( pm 1, 0) ). Se dibujan como líneas azules en la Figura (II ) .7. Las líneas de fuerza son las trayectorias ortogonales a estos, y son de la forma
[ label {2.6.9} x ^ 2 + y ^ 2 + 2gy + 1 = 0 ]
[ 19459001] Estos son círculos de radios ( sqrt {g ^ 2 −1} ) y tienen sus centros en ((0, pm g) ). Se muestran como líneas rojas discontinuas en la Figura (II ) .7.
( text {FIGURE II.7} )