Considere el sistema de cargos que se muestra en la Figura (III ). 13. No tiene carga neta ni momento dipolar neto. A diferencia de un dipolo, no experimentará ni una fuerza neta ni un par neto en ningún campo uniforme . Puede o no experimentar una fuerza neta en un campo externo no uniforme. Por ejemplo, si pensamos en el cuadrupolo como dos dipolos, cada dipolo experimentará una fuerza proporcional al gradiente de campo local en el que se encuentra. Si los gradientes de campo en la ubicación de cada dipolo son iguales, las fuerzas en cada dipolo serán iguales pero opuestas, y habrá no fuerza neta en el cuadrupolo. Sin embargo, si los gradientes de campo en las posiciones de los dos dipolos son desiguales, las fuerzas en los dos dipolos serán desiguales y habrá una fuerza neta en el cuadrupolo. Por lo tanto, habrá una fuerza neta si hay un gradiente distinto del cero del gradiente de campo. Dicho de otra forma, no habrá fuerza neta sobre el cuadrupolo si las segundas derivadas parciales mixtas de los componentes del campo (¡las terceras derivadas del potencial!) Son cero. Además, si el cuadrupolo está en un campo no uniforme, aumentando, digamos, a la derecha, el par superior experimentará una fuerza hacia la derecha y el par inferior experimentará una fuerza hacia la izquierda; así, el sistema experimentará un torque neto en un campo no homogéneo, aunque no habrá fuerza neta a menos que los gradientes de campo en los dos pares sean desiguales.
( text {FIGURA III.13} )
El sistema posee lo que se conoce como un cuadrupolo momento . Mientras que una sola carga es una cantidad escalar, y un momento dipolar es una cantidad vectorial, el momento cuadrupolo es un tensor simétrico de segundo orden.
El momento dipolar de un sistema de cargas es un vector con tres componentes dados por
[p_x = sum Q_i x_i, , p_y = sum Q_iy_i, , p_z = sum Q_i z_i. ]
El momento cuadrupolo ( textbf {q} ) tiene nueve componentes (de los cuales seis son distintos) definidos por
[q_ {xx} = sum Q_ix_i ^ 2 nonumber ]
[q_ {xy} = sum Q_ix_iy_i nonumber ]
etc., y su representación matricial es
[ textbf {q} = begin {pmatrix} q_ {xx} & q_ {xy} & q_ {xz} \ q_ {xy} & q_ {yy} & q_ {yz} \ q_ { xz} y q_ {yz} y q_ {zz} \ end {pmatrix} label {3.8.1} ]
Para una distribución de carga continua con densidad de carga (ρ ) coulombs por metro cuadrado, los componentes estarán dados por (q_ {xx} = int rho x ^ 2 d tau ), etc., donde (d tau ) es un elemento de volumen , dado en coordenadas rectangulares por (dx , dy , dz ) y en coordenadas esféricas por (r ^ 2 sin θ , dr , dθ , dφ ). La unidad SI del momento cuadrupolo es C m 2 , y las dimensiones son L 2 Q, mediante la rotación adecuada de los ejes, de la forma habitual (véase, por ejemplo, la sección 2.17 de Mecánica clásica ), la matriz se puede diagonalizar, y los elementos diagonales son entonces los valores propios del momento cuadrupolo, y la traza de la matriz no se ve alterada por la rotación.