5.12: Fuerza entre las placas de un condensador de placas paralelas planas

Imaginamos un condensador con una carga (+ Q ) en una placa y (- Q ) en la otra, e inicialmente las placas están casi, pero no del todo, en contacto. Hay una fuerza (F ) entre las placas. Ahora separamos gradualmente las placas (pero la separación sigue siendo lo suficientemente pequeña como para ser aún pequeña en comparación con las dimensiones lineales de las placas y podemos mantener nuestra aproximación de un campo uniforme entre las placas, por lo que la fuerza permanece (F ) a medida que los separamos). El trabajo realizado para separar las placas de cerca de cero a (d ) es (Fd ), y esto debe ser igual a la energía almacenada en el condensador, ( frac {1} {2} QV ). El campo eléctrico entre las placas es (E = V / d ), entonces encontramos la fuerza entre las placas

[ label {5.12.1} F = frac {1} {2 } QE. ]

Ahora podemos hacer un experimento imaginario interesante, solo para ver que entendemos los diversos conceptos. Imaginemos que tenemos un condensador en el que las placas son horizontales; la placa inferior está fija, mientras que la placa superior está suspendida por encima de un resorte de fuerza constante (k ). Conectamos una batería a través de las placas, por lo que las placas se atraerán entre sí. La placa superior se moverá hacia abajo, pero solo hasta cierto punto, porque la atracción eléctrica entre las placas se ve contrarrestada por la tensión en el resorte. Calcule la separación de equilibrio (x ) entre las placas en función del voltaje aplicado (V ). (¡Palabra horrible! No decimos “metreage” para la longitud, “kilogramo” para la masa o “secundage” para el tiempo, entonces, ¿por qué decimos “voltaje” para la diferencia de potencial y “superficie” para el área? ¡Uf!) poder usar nuestro invento como un voltímetro, ¡incluso tiene una resistencia infinita! Consulte la Figura (V. ) 11.

( text {FIGURE V.11} )

Supondremos que la separación cuando la diferencia de potencial es cero es a , y la separación cuando la diferencia de potencial es (V ) es (x ), en cuyo momento el resorte se ha extendido por una longitud (a – x ).

La fuerza eléctrica entre las placas es ( frac {1} {2} QE ). Ahora (Q = CV = frac { epsilon_0AV} {x} text {y} E = frac {V} {x} ), entonces la fuerza entre las placas es ( frac { epsilon_0AV ^ 2 } {2x ^ 2} ). Aquí (A ) es el área de cada placa y se supone que el experimento se realiza en el aire, cuya permitividad está muy cerca de ( epsilon_0 ). La tensión en el resorte estirado es (k (a – x) ), por lo que igualar las dos fuerzas nos da

[V ^ 2 = frac {2kx ^ 2 (ax)} { epsilon_0A }. label {5.12.2} ]

El cálculo muestra [¡hazlo! – solo diferencie (x ^ 2 (1 – x) )] que (V ) tiene un valor máximo de (V _ { text {max}} = sqrt { frac {8ka ^ 3} {27 epsilon_0A}} ) para una separación (x = frac {2} {3} a ). Si expresamos la diferencia potencial en unidades de (V _ { text {max}} ) y la separación en unidades de (a ), la ecuación ref {5.12.2} se convierte en

[ label {5.12.3} V ^ 2 = frac {27x ^ 2 (1-x)} {4}. ]

En la Figura (V. ) 12 he trazado la separación como una función de la diferencia potencial.

( text {FIGURA V.12} )

Como se esperaba, la diferencia de potencial es cero cuando la separación es 0 o 1 (y por lo tanto, esperaría que pasara un máximo para alguna separación intermedia).

Vemos que para (V dos posiciones de equilibrio. Por ejemplo, si (V = 0.8 ), demuestre que (x = 0.396305 text {o} 0.876617 ). También surge la pregunta: ¿qué sucede si aplica a través de las placas una diferencia de potencial que es mayor que (V ) _max ?

Se puede obtener más información a partir de consideraciones energéticas. La energía potencial del sistema es el trabajo realizado al mover la placa superior de (x = a text {a} x = x ) mientras que la diferencia de potencial es (V ):

[ U = frac { epsilon_0AV ^ 2} {2a} – frac { epsilon_0AV ^ 2} {2x} + frac {1} {2} k (ax) ^ 2. Label {5.12.4} ]

Es posible que deba consultar la Sección 5.15 para asegurarse de que lo hemos hecho bien.

Si expresamos (V ) en unidades de (V_ text {max} ), (x ) en unidades de (a ) y (U ) en unidades de (ka ^ 2 ) esto se convierte en

[U = frac {4} {27} V ^ 2 (1-1 / x) + frac {1} {2} (1-x) ^ 2 label {5.12.5} ]

En la Figura (V. ) 13 he trazado la energía versus la separación para tres valores de diferencia de potencial, 90% de (V_ text {max} ), (V_ text {max} ) y 110% de (V_ text {max} ).

( text {FIGURE V.13} )

Vemos que para (V inferior una (más pequeña x ) es inestable , y vemos exactamente qué sucederá si la placa superior se desplaza ligeramente hacia arriba (más grande (x )) desde la posición de equilibrio inestable o si se desplaza ligeramente hacia abajo (más pequeño (x )). La posición de equilibrio superior es estable.

Si (V> V_ text {max} ), no hay posición de equilibrio y (x ) baja a cero, es decir, las placas se unen.