Si aumenta gradualmente la distancia entre las placas de un condensador (aunque siempre manteniéndolo lo suficientemente pequeño para que el campo sea uniforme), ¿cambia la intensidad del campo o permanece igual? Si es lo primero, ¿aumenta o disminuye?
Las respuestas a estas preguntas dependen
- de si, por el campo, se refiere al campo (E ) – o al campo (D );
- sobre si las placas están aisladas o si están conectadas a los polos de una batería .
Comenzaremos suponiendo que las placas están aisladas .
En este caso, la carga en las placas es constante, y también lo es la densidad de carga. La ley de Gauss requiere que (D = sigma ), de modo que (D ) permanezca constante. Y, dado que la permitividad no ha cambiado, (E ) también permanece constante.
La diferencia de potencial entre las placas es (Ed ), entonces, a medida que aumenta la separación de la placa, aumenta la diferencia de potencial entre las placas. La capacitancia disminuye de ( epsilon ) A / d 1 a ( epsilon A / d_2 ) y la energía almacenada en el condensador aumenta desde ( frac {Ad_1 sigma ^ 2} {2 epsilon} text {to} frac {Ad_2 sigma ^ 2} {2 epsilon} ). Esta energía deriva del trabajo realizado en la separación de las placas.
Ahora supongamos que las placas están conectadas a una batería de EMF (V ), con aire o vacío entre las placas. Al principio, la separación es (d_1 ). Las magnitudes de (E ) y (D ) son, respectivamente, (V / d_1 ) y ( epsilon_0 V / d_1 ). Cuando hemos aumentado la separación a (d_2 ), la diferencia de potencial entre las placas no ha cambiado; sigue siendo el EMF (V ) de la batería. Sin embargo, el campo eléctrico ahora es solo (E = V / d_2 ) y (D = epsilon_0 V / d_2 ). Pero la ley de Gauss todavía dicta que (D = sigma ) y, por lo tanto, la densidad de carga y la carga total en las placas es menor de lo que era antes. Se ha ido a la batería. En otras palabras, al hacer el trabajo separando las placas, hemos recargado la batería. La energía almacenada en el capacitor era originalmente ( frac { epsilon_0AV ^ 2} {2d_1} ); ahora es solo ( frac { epsilon_0AV ^ 2} {2d_2} ). Por lo tanto, la energía contenida en el condensador se ha reducido en ( frac {1} {2} epsilon_0AV ^ 2 left ( frac {1} {d_1} – frac {1} {d_2} right) ) .
La carga originalmente mantenida por el capacitor era ( frac { epsilon_0AV} {d_1} ). Después de que la separación de la placa se ha incrementado a d 2 el cargo retenido es ( frac { epsilon_0AV} {d_1} ). La diferencia, ( epsilon_0AV left ( frac {1} {d_1} – frac {1} {d_2} right) ), es la carga que se ha introducido en la batería. La energía, o trabajo, requerido para forzar esta cantidad de carga en la batería contra su EMF (V ) es ( epsilon_0AV ^ 2 left ( frac {1} {d_1} – frac {1} {d_2 }Correcto )). La mitad de esto provino de la pérdida de energía mantenida por el condensador (ver arriba). La otra mitad presumiblemente provino del trabajo mecánico que hizo al separar las placas. Veamos si podemos verificar esto.
Cuando la separación de la placa es (x ), la fuerza entre las placas es ( frac {1} {2} QE ) que es ( frac {1} {2} frac { epsilon_0AV} {x} cdot frac {V} {x} text {o} frac { epsilon_0AV ^ 2} {2x ^ 2} ). El trabajo requerido para aumentar (x ) de (d_1 ) a (d_2 ) es ( frac { epsilon_0AV ^ 2} {2} int_ {d_1} ^ {d_2} frac {dx} {x ^ 2} ), que de hecho es ( frac {1} {2} epsilon_0AV ^ 2 left ( frac {1} {d_1} – frac {1} {d_2} right) ) . Por lo tanto, esta cantidad de trabajo mecánico, más una cantidad igual de energía del condensador, se ha invertido en recargar la batería. Expresado de otra manera, el trabajo realizado para separar las placas equivale al trabajo requerido para cargar la batería menos la disminución de la energía almacenada por el condensador.
¡Quizás hayamos inventado un cargador de batería (Figura (V. ) 19)!
( text {FIGURE V.19} )
Cuando la separación de la placa es (x ), la carga almacenada en el condensador es (Q = frac { epsilon_0AV} {x} ). Si (x ) se incrementa a una tasa ( dot x ), (Q ) aumentará a una tasa ( dot Q = – frac { epsilon_0AV dot x} {x ^ 2} ). Es decir, el condensador se descargará (porque ( dot Q ) es negativo), y una corriente (I = frac { epsilon_0AV dot x} {x ^ 2} ) fluirá en sentido antihorario en el circuito. (Verifique que esta expresión sea dimensionalmente correcta para la corriente).