Suponga que comienza con dos placas separadas por vacío o por aire, con una diferencia de potencial entre las placas, y luego inserta un material dieléctrico de permitividad ( epsilon_0 ) entre las placas. ¿Cambia la intensidad del campo o permanece igual? Si es lo primero, ¿aumenta o disminuye?
La respuesta a estas preguntas depende
- de si, por el campo, se refiere al campo (E ) – o al campo (D );
- sobre si las placas están aisladas o si están conectadas a los polos de una batería .
Comenzaremos suponiendo que las placas están aisladas . Ver Figura (V. ) 20.
( text {FIGURE V.20} )
Sea (Q ) la carga en las placas, y ( sigma ) la densidad de carga superficial. Estos no se modifican con la introducción del dieléctrico. La ley de Gauss establece que (D = sigma ), por lo que esto tampoco se ve alterado por la introducción del dieléctrico. El campo eléctrico era, inicialmente, (E_1 = D / epsilon_0 ). Después de la introducción del dieléctrico, es un poco menos, a saber, (E_1 = D / epsilon ).
Tomemos el potencial de la placa inferior como cero. Antes de la introducción del dieléctrico, el potencial de la placa superior era (V_1 = sigma d / epsilon_0 ). Después de la introducción del dieléctrico, es un poco menos, a saber, (V_1 = sigma d / epsilon ).
¿Por qué el campo eléctrico (E ) es menor después de la introducción del material dieléctrico? Es porque el material dieléctrico se polariza . Vimos en la Sección 3.6 cómo la materia puede polarizarse. O bien las moléculas con momentos dipolares preexistentes se alinean con el campo eléctrico impuesto o, si no tienen un momento dipolar permanente o si no pueden rotar, se puede inducir un momento dipolar en las moléculas individuales. En cualquier caso, el efecto de la alineación de todos estos dipolos moleculares es que hay un ligero excedente de carga positiva en la superficie del material dieléctrico junto a la placa negativa, y un ligero excedente de carga negativa en la superficie del dieléctrico. material al lado de la placa positiva. Esto produce un campo eléctrico opuesto a la dirección del campo impuesto y, por lo tanto, el campo eléctrico total se reduce algo.
Antes de la introducción del material dieléctrico, la energía almacenada en el condensador era ( dfrac {1} {2} QV_1 ). Después de la introducción del material, es ( dfrac {1} {2} QV_2 ), que es un poco menos. Por lo tanto, será necesario trabajar para eliminar el material entre las placas. El condensador vacío tenderá a absorber el material, tal como la barra cargada en el Capítulo 1 atrajo una bola de médula sin carga.
Ahora supongamos que las placas están conectadas a una batería . (Figura (V. ) 21)
( text {FIGURE V.21} )
Esta vez la diferencia de potencial permanece constante y, por lo tanto, también lo hace el campo (E ), que es solo (V / d ). Pero el campo (D ) – aumenta de ( epsilon_0 E ) a ( epsilon E ), y por lo tanto, la densidad de carga superficial en las placas también. Este cargo adicional proviene de la batería.
La capacitancia aumenta de ( dfrac { epsilon_0A} {d} text {a} dfrac { epsilon A} {d} ) y la carga almacenada en las placas aumenta de (Q_1 = dfrac { epsilon_0AV} {d} text {to} Q_2 dfrac { epsilon AV} {d} ). La energía almacenada en el condensador aumenta de ( dfrac {1} {2} Q_1V text {a} dfrac {1} {2} Q_2V ).
La energía suministrada por la batería = la energía vertida en el condensador + la energía requerida para aspirar el material dieléctrico en el condensador:
[(Q_2-Q_1) V = dfrac { 1} {2} (Q_2-Q_1) V + dfrac {1} {2} (Q_2-Q_1) V. nonumber ]
Tendría que trabajar para eliminar el material del condensador; la mitad del trabajo que realiza sería el trabajo mecánico realizado al extraer el material; la otra mitad se usaría para cargar la batería.
En la Sección 5.15, inventé un tipo de cargador de batería. Ahora voy a hacer fortuna inventando otro tipo de cargador de batería.
Ejemplo 1 .
( text {FIGURE V.22} )
Un capacitor está formado por dos placas cuadradas, cada una de las dimensiones ( a times a ), separación (d ), conectado a una batería. Hay un medio dieléctrico de permitividad ( epsilon ) entre las placas. Extraigo el medio dieléctrico a velocidad ( dot x ). Calcule la corriente en el circuito a medida que la batería se recarga.
Solución .
Cuando me he movido una distancia (x ), la capacitancia es
[ dfrac { epsilon a (ax)} {d} + dfrac { epsilon_0ax} { d} = dfrac { epsilon a ^ 2 – ( epsilon – epsilon_0) ax} {d}. nonumber ]
La carga mantenida por el condensador es entonces
[Q = left [ dfrac { epsilon a ^ 2 – ( epsilon – epsilon_0) ax} {d} right] V. nonumber ]
Si el dieléctrico se mueve a velocidad ( dot x ), la carga mantenida por el condensador aumentará a una velocidad
[ dot Q = dfrac {- ( epsilon- epsilon_0) a dot xV} {d} . nonumber ]
(Eso es negativo, entonces (Q ) disminuye.) Por lo tanto, una corriente de esta magnitud fluye en sentido horario alrededor del circuito, hacia la batería. Debe verificar que la expresión tenga las dimensiones correctas para la corriente.
Ejemplo 2.
( text {FIGURE V.23} )
Un condensador consta de dos placas, cada una de área (A ), separadas por una distancia (x ), conectadas a una batería de EMF (V. ) Una taza descansa sobre la placa inferior. La copa se llena gradualmente con un líquido de permitividad no conductor ( epsilon ), la superficie se eleva a una velocidad ( dot x ). Calcule la magnitud y la dirección de la corriente en el circuito.
Es fácil calcular que, cuando el líquido tiene una profundidad x , la capacitancia del capacitor es
[C = dfrac { epsilon epsilon_0A } { epsilon d – ( epsilon – epsilon_0) x} nonumber ]
y la carga mantenida por el capacitor es entonces
[ nonumber Q = dfrac { epsilon epsilon_0AV} { epsilon d – ( epsilon- epsilon_0) x}. ]
Si (x ) aumenta a una tasa ( dot x ), la tasa a la cual (Q ), la carga en el condensador, está aumentando es
[ dot Q = dfrac { epsilon epsilon_0 ( epsilon- epsilon_0) AV dot x} {[ epsilon d – ( epsilon – epsilon_0) x] ^ 2}. nonumber ]
Por lo tanto, una corriente de esta magnitud fluye en el circuito en sentido antihorario, agotando la batería. Esta corriente aumenta monotónicamente de cero a ( dfrac { epsilon ( epsilon- epsilon_0) AV dot x} { epsilon_0 d ^ 2} ).