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5.21: Más sobre E, D, P, etc.

                 

Revisaré algunas cosas que ya hemos cubierto antes de continuar. El campo eléctrico ( textbf {E} ) entre las placas de un condensador paralelo plano es igual al gradiente de potencial, es decir, la diferencia de potencial entre las placas dividida por la distancia entre ellas.

El campo eléctrico ( textbf {D} ) entre las placas de un condensador paralelo plano es igual a la densidad de carga superficial en las placas.

Supongamos que al principio no hay nada entre las placas. Si ahora empuja un material dieléctrico isotrópico * de permitividad relativa ( epsilon_r ) entre las placas, ¿qué sucede? Respuesta: Si las placas están aisladas, ( textbf {D} ) permanece igual mientras ( textbf {E} ) (y, por lo tanto, la diferencia de potencial entre las placas) se reduce en un factor ( epsilon_r ) . Si, por otro lado, las placas están conectadas a una batería, la diferencia de potencial y, por lo tanto, ( textbf {E} ) permanece igual mientras que ( textbf {D} ) (y, por lo tanto, la densidad de carga en las placas) aumenta en un factor ( epsilon_r ).

 

Habrás notado la palabra isotrópica aquí. Consulte Sección 1.7 para una breve mención de un medio anisotrópico y el concepto de permitividad como una cantidad tensora. No estoy preocupado con este aspecto aquí.

 

En cualquier caso, el bloque de material dieléctrico se polariza . Desarrolla una densidad de carga en las superficies que se unen a las placas. El bloque de material desarrolla un momento dipolar , y el momento dipolar dividido por el volumen del material, es decir, el momento dipolar por unidad de volumen, es la polarización ( textbf {P }) del material. ( textbf {P} ) también es igual a ( textbf {D} – epsilon_0 textbf {E} ) y, por supuesto, a ( epsilon textbf {E} – epsilon_0 textbf {MI}). La relación de la polarización resultante ( textbf {P} ) al campo de polarización ( epsilon_0 textbf {E} ) se denomina susceptibilidad eléctrica ( chi ) del medio . Valdrá la pena dedicar unos minutos a convencerse de estas definiciones y conceptos que ( epsilon = epsilon_0 (1 + chi) text {y} chi = epsilon_r – 1 ), donde ( epsilon_r ) es la permitividad relativa adimensional (o constante dieléctrica ) ( epsilon / epsilon_0 ).

¿Qué sucede físicamente dentro del medio cuando se polariza? Una posibilidad es que las moléculas individuales, si son moléculas asimétricas, ya pueden poseer un momento dipolar permanente. La molécula de dióxido de carbono, que, en su estado fundamental, es lineal y simétrica, ( text {O} = text {C} = text {O} ), no tiene un momento dipolar permanente. Las moléculas simétricas como ( text {CH} _4 ) y los átomos individuales como ( text {He} ), no tienen un momento dipolar permanente. La molécula de agua tiene algunos elementos de simetría, pero no es lineal y tiene un momento dipolar permanente, de aproximadamente (6 veces 10 ^ {- 30} text {C m} ), dirigida a lo largo de la bisectriz del ángulo HOH y lejos del átomo de O. Si las moléculas tienen un momento dipolar permanente y son libres de rotar (como, por ejemplo, en un gas), tenderán a rotar en la dirección del campo aplicado. (Discutiré esa frase “tender a” en un momento). Así el material se polariza.

Una molécula como ( text {CH} _4 ) es simétrica y no tiene un momento dipolar permanente, pero, si se coloca en un campo eléctrico externo, la molécula puede distorsionarse de su tetraédrico perfecto forma con ángulos nítidos de 109º, porque cada par de átomos ( text {CH} ) tiene un momento dipolar. Así, la molécula adquiere un momento dipolar inducido , y el material en su conjunto se polariza. La relación del momento dipolar inducido ( textbf {p} ) al campo de polarización ( textbf {E} ) polarizabilidad (α ) de la molécula. Revise la Sección 3.6 para más información sobre esto.

¿Qué tal un solo átomo, como ( text {Kr} )? Incluso eso puede adquirir un momento dipolar. Aunque no hay enlaces para doblarse, bajo la influencia de un campo eléctrico, una preponderancia de electrones migrará a un lado del átomo, por lo que el átomo adquiere un momento dipolar. El mismo fenómeno se aplica, por supuesto, a una molécula como ( text {CH} _4 ) además de la flexión de enlaces ya mencionada.

Consideremos la situación de un material dieléctrico en el que las moléculas tienen un momento dipolar permanente y están libres (como en un gas, por ejemplo) para rotar. Supondremos que, al menos en un campo polarizador débil, el momento dipolar permanente es significativamente mayor que cualquier momento dipolar inducido, por lo que descuidaremos el último. Hemos dicho que, bajo la influencia de un campo polarizador, el dipolo permanente tenderá a alinearse con el campo. Pero también tienen que lidiar con los constantes empujones y colisiones entre las moléculas, que hacen que sus momentos dipolares se vuelvan locos, por lo que no pueden alinearse de inmediato exactamente con el campo. Podemos imaginar que el material puede polarizarse con bastante fuerza si la temperatura es bastante baja, pero solo con una polarización relativamente débil a temperaturas más altas. ¿Nos atrevemos a esperar que podamos predecir la variación de la polarización (P ) con la temperatura (T )? ¡Vamos a intentarlo!

Recordamos ( Sección 3.4 ) que la energía potencial (U ) de un dipolo, cuando forma un ángulo (θ ) con el campo eléctrico, es

[U = – pE cos θ = – textbf {p} cdot textbf {E}. ]

La energía de un dipolo cuya dirección forma un ángulo de entre (θ text {y} θ + dθ ) con el campo estará entre (U text {y} U + dU ), donde (dU = pE sin θdθ ). Lo que sucede a continuación requiere familiaridad con la ecuación de Boltzmann para la distribución de energías en una mecánica estadística. Ver, por ejemplo, mis notas de Atmósferas estelares, Capítulo 8, Sección 8.4. La fracción de moléculas que tienen energías entre (U text {y} U + dU ) será, siguiendo la ecuación de Boltzmann,

[ dfrac {e ^ {- U / (kT)} dU} { int _ {- pE} ^ {+ pE} e ^ {- U / (kT) dU}}, ]

(Precaución: Recuerde que aquí estoy usando (U ) para potencial energía, y (E ) para campo eléctrico.)

Es decir, la fracción de moléculas que forman ángulos entre (θ text {y} θ + dθ ) con el campo es

[ dfrac {pEe ^ {pE cos θ / (kT)} sin θdθ} { int_0 ^ pi pEe ^ {pE cos θ / (kT)} sin θdθ} = dfrac { e ^ {pE cos θ / (kT)} sin θdθ} { int_0 ^ pi e ^ {pE cos θ / (kT)} sin θdθ}. ]

El componente en la dirección de ( textbf {E} ) del momento dipolar de esta fracción de las moléculas es

[ dfrac {p int_0 ^ pi e ^ {pE cos θ / (kT )} sin θ cos θdθ} { int_0 ^ pi e ^ {pE cos θ / (kT)} sin θdθ}, ]

y esta expresión representa el momento dipolar inducido en el directo ión del campo de toda la muestra, que llamaré (p_s ). La polarización de la muestra se dividiría por su volumen.

Sea

[x = dfrac {pE} {kT} cos θ = a cos θ. ]

Luego la expresión para el momento dipolar de la muestra completa se convierte (se necesita algo de cuidado):

[p_s = p times dfrac { int _ {- a} ^ {+ a} xe ^ x , dx} {a int_ { -a} ^ {+ a} e ^ x , dx} = p veces left ( dfrac {e ^ a + e ^ {- a}} {e ^ ae ^ {- a}} – dfrac { 1} {a} right). ]

La expresión entre paréntesis se llama función Langevin , y se derivó por primera vez en relación con la teoría del paramagnetismo. Si su calculadora o computadora admite la función hiperbólica coth, se calcula más fácilmente como coth (a – 1 / a ). Si no admite ( coth ), calcule como

[ dfrac {1 + b} {1-b} – dfrac {1} {a} ]

[ 19459001] donde (b = e ^ {- 2a} ). En cualquier caso, es una función bastante interesante, incluso desafiante. Llamemos a la expresión entre paréntesis (f (a) ). ¿Cómo se vería la función si trazaras (f (a) text {versus} a )? La derivada con respecto a (a ) es

[ dfrac {1} {a ^ 2} – dfrac {4b} {(1-b) ^ 2}. ]

Es fácil ver que, como (a → infty ), la función se aproxima a 1 y su derivada, o pendiente, se aproxima a cero. Pero, ¿cuáles son la función y su derivada (pendiente) en (a = 0 )? Puede encontrar eso un poco desafiante. La respuesta es que, como (a → 0 ), la función se aproxima a cero y su derivada se aproxima a 1/3. (De hecho, para la pequeña a, la función Langevin es aproximadamente ( dfrac {a} {3 (1-a)} ), y para muy pequeña (a ), es ( dfrac {1} {3} a ).) Por lo tanto, para pequeños a (es decir, temperaturas altas) (p_s ) se aproxima a (p veces kT dfrac {pE} {3kT} ) y no más. La función Langevin se ve así:


( text {FIGURE V.28} )

Puede ser más interesante ver directamente cómo el momento dipolar muestra varía con la temperatura. Si expresamos el momento dipolar de muestra ps en unidades del momento dipolar molecular (p ), y la temperatura en unidades de (pE / k ), entonces la ecuación 5.22.6 se convierte en

[p_s = dfrac {e ^ {1 / T} + e ^ {- 1 / T}} {e ^ {1 / T} -e ^ {- 1 / T}} – T = coth (1 / T) – T, ]

y eso se ve así


( text {FIGURA V.29} )

La contribución a la polarización de una muestra de los otros dos mecanismos, a saber, la flexión de enlaces y el empuje de electrones hacia un lado, es independiente de la temperatura. Por lo tanto, si encontramos que la polarización depende de la temperatura, esto nos informa de la existencia de un momento dipolar permanente, como, por ejemplo, en cloruro de metilo ( text {CH} _3 text {Cl} ) y ( text {H} _2 text {O} ). De hecho, la dependencia de la temperatura de la polarización es parte de la evidencia que nos dice que la molécula de agua no es lineal. Para los pequeños (a ) (recuerde que (a = dfrac {pE} {kT} )), la polarización del material es ( dfrac {pE} {3kT} ), y así un gráfico de la polarización frente a (1 / T ) será una línea recta a partir de la cual se puede determinar el momento dipolar de la molécula: cuanto mayor es la pendiente, mayor es el momento dipolar. Por otro lado, si la polarización es independiente de la temperatura, la molécula es simétrica, como el metano ( text {CH} _4 ) y ( text {OCO} ). De hecho, la independencia de la polarización en la temperatura es parte de la evidencia que nos dice que ( text {CO} _2 ) es una molécula lineal.