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6.4: El comportamiento ondulatorio de la materia

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

         

  •      

    Comprender la dualidad onda-partícula de la materia.

         

  •  

 

 

Los fotones de luz de Einstein eran paquetes individuales de energía que tenían muchas de las características de las partículas. Recuerde que la colisión de un electrón (una partícula) con un fotón suficientemente energético puede expulsar un fotoelectrón de la superficie de un metal. Cualquier exceso de energía se transfiere al electrón y se convierte en la energía cinética del electrón expulsado. La hipótesis de Einstein de que la energía se concentra en paquetes localizados, sin embargo, contrasta fuertemente con la noción clásica de que la energía se distribuye uniformemente en una ola. Ahora describimos la teoría de Einstein sobre la relación entre energía y masa, una teoría que otros construyeron para desarrollar nuestro modelo actual del átomo.

 

El carácter ondulatorio de la materia

 

Einstein inicialmente asumió que los fotones tenían masa cero, lo que los convirtió en un tipo peculiar de partículas. En 1905, sin embargo, publicó su teoría especial de la relatividad, que relacionaba la energía y la masa de acuerdo con la famosa ecuación:

 

[E = h
u = h dfrac {c} { lambda} = mc ^ {2} label {6.4.1} ]

 

Según esta teoría, un fotón de longitud de onda (λ ) y frecuencia (
u ) tiene una masa distinta de cero, que se da de la siguiente manera:

 

[m = dfrac {E} {c ^ {2}} = dfrac {h
u} {c ^ {2}} = dfrac {h} { lambda c} label {6.4.2} ]

 

Es decir, la luz, que siempre se había considerado una onda, también tiene propiedades típicas de las partículas, una condición conocida como dualidad onda-partícula (un principio de que la materia y la energía tienen propiedades típicas de las ondas y las partículas). Dependiendo de las condiciones, la luz podría verse como una onda o una partícula.

 

En 1922, el físico estadounidense Arthur Compton (1892-1962) informó los resultados de los experimentos que involucraron la colisión de rayos X y electrones que respaldaron la naturaleza de las partículas de la luz. Casi al mismo tiempo, un joven estudiante francés de física, Louis de Broglie (1892–1972), comenzó a preguntarse si lo contrario era cierto: ¿podrían las partículas exhibir las propiedades de las ondas? En su tesis doctoral presentada a la Sorbona en 1924, de Broglie propuso que una partícula como un electrón podría describirse por una onda cuya longitud de onda está dada por

 

[ lambda = dfrac {h} {mv} label {6.4.3} ]

 

donde

 

         

  • (h ) es la constante de Planck,
  •      

  • (m ) es la masa de la partícula y
  •      

  • (v ) es la velocidad de la partícula.
  •  

 

Esta idea revolucionaria fue confirmada rápidamente por los físicos estadounidenses Clinton Davisson (1881–1958) y Lester Germer (1896–1971), quienes mostraron que haces de electrones, considerados partículas, fueron difractados por un cristal de cloruro de sodio de la misma manera como rayos X, que se consideraban ondas. Se probó experimentalmente que los electrones exhiben las propiedades de las ondas. Por su trabajo, de Broglie recibió el Premio Nobel de Física en 1929.

 

Si las partículas exhiben las propiedades de las ondas, ¿por qué nadie las había observado antes? La respuesta se encuentra en el numerador de la ecuación de De Broglie, que es un número extremadamente pequeño. Como calculará en el Ejemplo ( PageIndex {1} ), la constante de Planck (6.63 × 10 −34 J • s) es tan pequeña que la longitud de onda de una partícula con una masa grande es demasiado corta (menor que el diámetro de un núcleo atómico) para ser notable.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Longitud de onda de una pelota de béisbol en movimiento

 

Calcule la longitud de onda de una pelota de béisbol, que tiene una masa de 149 gy una velocidad de 100 mi / h.

 

Dado: masa y velocidad del objeto

 

Preguntado por: longitud de onda

 

Estrategia:

 

         

  1. Convierta la velocidad de la pelota de béisbol a las unidades SI apropiadas: metros por segundo.
  2.      

  3. Sustituye los valores en la ecuación ( ref {6.4.3} ) y resuelve la longitud de onda.
  4.  

 

Solución:

 

La longitud de onda de una partícula viene dada por (λ = h / mv ). Sabemos que m = 0,149 kg, por lo que todo lo que necesitamos encontrar es la velocidad del béisbol:

 

(v = left ( dfrac {100 ; cancel {mi}} { cancel {h}} right) left ( dfrac {1 ; cancel {h}} {60 ; cancel {min}} right) left ( dfrac {1.609 ; cancel {km}} { cancel {mi}} right) left ( dfrac {1000 ; m} { cancel { km}} right) )

 

B Recuerde que el joule es una unidad derivada, cuyas unidades son (kg • m 2 ) / s 2 . Así, la longitud de onda del béisbol es

 

[ lambda = dfrac {6.626 veces 10 ^ {- 34} ; J cdot s} { left (0.149 ; kg right) left (44.69 ; m cdot s right)} = dfrac {6.626 times 10 ^ {- 34} ; cancel {kg} cdot m {^ cancel {2} cdot cancel {s} { cancel {^ {- 2}} cdot cancel {s}}}} { left (0.149 ; cancel {kg} right) left (44.69 ; cancel {m} cdot cancel {s ^ {- 1}} right)} = 9.95 times 10 ^ {- 35} ; m ]

 

(Debe verificar que las unidades se cancelen para dar la longitud de onda en metros). Dado que el diámetro del núcleo de un átomo es de aproximadamente 10 −14 m, la longitud de onda de la pelota de béisbol es casi inimaginable pequeña.

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {1} ): longitud de onda de un neutrón en movimiento

 

Calcule la longitud de onda de un neutrón que se mueve a 3.00 × 10 3 m / s.

 

     

Respuesta

     

     

1.32 Å, o 132 pm

     

 

 

 

Como calculó en el Ejemplo ( PageIndex {1} ), los objetos como una pelota de béisbol o un neutrón tienen longitudes de onda tan cortas que se consideran mejor principalmente como partículas. Por el contrario, los objetos con masas muy pequeñas (como los fotones) tienen longitudes de onda grandes y pueden verse principalmente como ondas. Sin embargo, los objetos con masas intermedias, como los electrones, exhiben las propiedades de ambas partículas y ondas. Aunque todavía solemos pensar en los electrones como partículas, la naturaleza ondulatoria de los electrones se emplea en un microscopio electrónico , que ha revelado la mayor parte de lo que sabemos sobre la estructura microscópica de los organismos y materiales vivos. Debido a que la longitud de onda de un haz de electrones es mucho más corta que la longitud de onda de un haz de luz visible, este instrumento puede resolver detalles más pequeños que un microscopio de luz (Figura ( PageIndex {1} )).

 

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Figura ( PageIndex {1} ) : Una comparación de imágenes obtenidas usando un microscopio óptico y un microscopio electrónico. Debido a su longitud de onda más corta, los electrones de alta energía tienen un mayor poder de resolución que la luz visible. En consecuencia, un microscopio electrónico (b) puede resolver detalles más finos que un microscopio óptico (a). (Radiolaria, que se muestran aquí, son organismos planctónicos unicelulares).

 

 

Una propiedad de onda importante: fase e interferencia

 

Una ola es una perturbación que viaja en el espacio. La magnitud de la onda en cualquier punto en el espacio y el tiempo varía sinusoidalmente. Si bien el valor absoluto de la magnitud de una onda en cualquier punto no es muy importante, el desplazamiento relativo de dos ondas, llamado diferencia de fase, es de vital importancia porque determina si las ondas se refuerzan o interfieren con cada una. otro. La Figura ( PageIndex {2A} ) muestra una diferencia de fase arbitraria entre dos ondas y la Figura ( PageIndex {2B} ) muestra lo que sucede cuando las dos ondas están desfasadas 180 grados. La línea verde es su suma. La Figura ( PageIndex {2C} ) muestra lo que sucede cuando las dos líneas están en fase, exactamente superpuestas entre sí. De nuevo, la línea verde es la suma de las intensidades. Se obtiene un patrón de interferencia constructiva y destructiva cuando dos (o más) ondas difractantes interactúan entre sí. Este principio de difracción e interferencia se utilizó para probar las propiedades de onda de los electrones y es la base de cómo funcionan los microscopios electrónicos.

 

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Figura ( PageIndex {2} ) : Fase. Dos ondas que viajan juntas son desplazadas por una diferencia de fase. Si la diferencia de fase es 0 °, se colocan uno encima del otro y se refuerzan. Si la diferencia de fase es 180 °, se cancelan por completo.

 

A photograph of an interference pattern is shown. Waves visible as white circles on the blue surface emanate from two centers and intersect at the numerous points.

 

Fotografía de un patrón de interferencia producido por ondas circulares de agua en un tanque ondulado.

 

Para un análisis matemático de los aspectos de fase en sinusoides, consulte la biblioteca matemática Libretexts .

 

 

Ondas estacionarias

 

De Broglie también investigó por qué solo ciertas órbitas estaban permitidas en el modelo de átomo de hidrógeno de Bohr. Supuso que el electrón se comporta como una onda estacionaria (una onda que no viaja en el espacio). Un ejemplo de una onda estacionaria es el movimiento de una cuerda de violín o guitarra. Cuando se arranca la cuerda, vibra a ciertas frecuencias fijas porque está sujeta en ambos extremos (Figura ( PageIndex {3} )). Si la longitud de la cuerda es (L ), entonces la vibración de energía más baja (la fundamental) tiene longitud de onda

 

[ begin {align} dfrac { lambda} {2} & = L
onumber \ lambda & = 2L
onumber end {align} label {6.4.4} ]

 

Las vibraciones de mayor energía se denominan armónicos (la vibración de una onda estacionaria que es más alta en energía que la vibración fundamental) y se producen cuando la cuerda se toca con más fuerza; tienen longitudes de onda dadas por

 

[ lambda = dfrac {2L} {n} label {6.4.5} ]

 

donde n tiene cualquier valor integral. Cuando se arranca, todas las demás frecuencias se extinguen inmediatamente. Solo las frecuencias resonantes sobreviven y se escuchan. Por lo tanto, podemos pensar en las frecuencias resonantes de la cuerda como cuantificadas. Observe en la Figura ( PageIndex {3} ) que todos los armónicos tienen uno o más nodos, puntos donde la cadena no se mueve. La amplitud de la onda en un nodo es cero.

 

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Figura ( PageIndex {3} ) : Ondas estacionarias en una cuerda vibrante. La vibración con ( n = 1 ) es fundamental y no contiene nodos. Las vibraciones con valores más altos de n se llaman armónicos; contienen ( n – 1 ) nodos.

 

Las vibraciones cuantificadas y los sobretonos que contienen nodos no están restringidos a sistemas unidimensionales, como las cadenas. Una superficie bidimensional, como un parche, también tiene vibraciones cuantizadas. De manera similar, cuando los extremos de una cuerda se unen para formar un círculo, las únicas vibraciones permitidas son aquellas con longitud de onda

 

[2πr = nλ label {6.4.6} ]

 

donde (r ) es el radio del círculo. De Broglie argumentó que las órbitas permitidas de Bohr podrían entenderse si el electrón se comportara como una onda circular (Figura ( PageIndex {4} )). La onda estacionaria podría existir solo si la circunferencia del círculo fuera un múltiplo integral de la longitud de onda de tal manera que las ondas propagadas estuvieran todas en fase, aumentando así las amplitudes netas y causando interferencia constructiva . De lo contrario, las ondas propagadas estarían desfasadas, lo que resultaría en una disminución neta de la amplitud y causaría interferencia destructiva. ¡Las ondas no resonantes interfieren entre sí! La idea de De Broglie explicaba muy bien las órbitas permitidas y los niveles de energía de Bohr: en el nivel de energía más bajo, correspondiente a (n = 1 ) en la Ecuación ( ref {6.4.6} ), una longitud de onda completa cerraría el círculo. Los niveles de energía más altos tendrían valores sucesivamente más altos de n con un número correspondiente de nodos.

 

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Figura ( PageIndex {4} ): Onda circular estacionaria e interferencia destructiva. (a) En una onda circular estacionaria con ( n = 5 ), la circunferencia del círculo corresponde exactamente a cinco longitudes de onda, lo que resulta en una interferencia constructiva de la onda consigo misma cuando se produce una superposición. (b) Si la circunferencia del círculo no es igual a un múltiplo integral de longitudes de onda, entonces la onda no se superpone exactamente consigo misma, y ​​la interferencia destructiva resultante dará como resultado la cancelación de la onda. En consecuencia, una onda estacionaria no puede existir en estas condiciones.

 

Como todas las analogías, aunque el modelo de onda estacionaria nos ayuda a comprender mucho sobre por qué funcionó la teoría de Bohr, también, si se empuja demasiado, puede inducir a error. Como verá, algunas de las ideas de De Broglie se retienen en la teoría moderna de la estructura electrónica del átomo: el comportamiento ondulatorio del electrón y la presencia de nodos que aumentan en número a medida que aumenta el nivel de energía. Desafortunadamente, su explicación (y la de Bohr) también contiene una característica importante que ahora sabemos que es incorrecta: en el modelo actualmente aceptado, el electrón en una órbita dada está no siempre a la misma distancia del núcleo.

 

 

SeismiC Seiches: Geological Standing Waves

 

Las ondas estacionarias a menudo se observan en ríos, embalses, estanques y lagos cuando las ondas sísmicas de un terremoto viajan a través del área. Las olas se llaman seiches sísmicas , un término utilizado por primera vez en 1955 cuando los niveles de los lagos en Inglaterra y Noruega oscilaron de lado a lado como resultado del terremoto de Assam de 1950 en el Tíbet. Fueron descritos por primera vez en las Actas de la Royal Society en 1755 cuando fueron vistos en puertos y estanques ingleses después de un gran terremoto en Lisboa, Portugal.

 

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Seiche en el lago Lemán, Suiza. Un seiche es el chapoteo de un cuerpo cerrado de agua por el terremoto. Las piscinas a menudo tienen seiches durante los terremotos. Imagen utilizada con permiso (Prof. Brennan, Geneseo State Univ. Of New York).

 

También se observaron seiches sísmicos en muchos lugares de América del Norte después del terremoto de Alaska del 28 de marzo de 1964. Los que ocurrieron en embalses occidentales duraron dos horas o más, y las amplitudes alcanzaron casi 6 pies a lo largo de la costa del Golfo. La altura de los seiches es aproximadamente proporcional al grosor de los sedimentos superficiales; un canal más profundo producirá un seiche más alto.

 

 

El principio de incertidumbre de Heisenberg

 

Debido a que una onda es una perturbación que viaja en el espacio, no tiene una posición fija. Por lo tanto, uno podría esperar que también sería difícil especificar la posición exacta de una partícula que exhibe un comportamiento ondulatorio. Una característica de la luz es que puede doblarse o extenderse al pasar a través de una ranura estrecha. Literalmente puede ver esto cerrando los ojos a la mitad y mirando a través de las pestañas. Esto reduce el brillo de lo que está viendo y borra un poco la imagen, pero la luz se dobla alrededor de las pestañas para proporcionar una imagen completa en lugar de un montón de barras en la imagen. Esto se llama difracción.

 

Este comportamiento de las ondas se captura en las ecuaciones de Maxwell (1870 más o menos) para ondas electromagnéticas y fue y es bien entendido. Un “principio de incertidumbre” para la luz es, por así decirlo, simplemente una conclusión sobre la naturaleza de las ondas electromagnéticas y nada nuevo. La idea de De Broglie de la dualidad onda-partícula significa que las partículas como los electrones que exhiben características ondulatorias también sufrirán difracción de las rendijas cuyo tamaño es del orden de la longitud de onda del electrón.

 

Esta situación fue descrita matemáticamente por el físico alemán Werner Heisenberg (1901-1976; Premio Nobel de Física, 1932), quien relacionó la posición de una partícula con su impulso. Refiriéndose al electrón, Heisenberg declaró que “en cada momento el electrón tiene solo una posición inexacta y una velocidad inexacta, y entre estas dos inexactitudes existe esta relación de incertidumbre”. Matemáticamente, el principio de incertidumbre de Heisenberg establece que la incertidumbre en la posición de una partícula (Δ x ) multiplicada por la incertidumbre en su el momento [Δ ( mv )] es mayor o igual que la constante de Planck dividida por 4π:

 

[ left ( Delta x right) left ( Delta left [mv right] right) ge dfrac {h} {4 pi} label {6.4.7} ]

 

Debido a que la constante de Planck es un número muy pequeño, el principio de incertidumbre de Heisenberg es importante solo para partículas como los electrones que tienen masas muy bajas. Estas son las mismas partículas predichas por la ecuación de De Broglie para tener longitudes de onda medibles.

 

Si la posición precisa (x ) de una partícula se conoce absolutamente (Δ x = 0), entonces la incertidumbre en su momento debe ser infinita:

 

[ left ( Delta left [mv right] right) = dfrac {h} {4 pi left ( Delta x right)} = dfrac {h} {4 pi left (0 right)} = infty label {6.4.8} ]

 

Debido a que la masa del electrón en reposo ( (m )) es constante y precisa, la incertidumbre en (Δ (mv) ) debe deberse al término (Δv ), que sería tiene que ser infinitamente grande para que (Δ (mv) ) sea igual al infinito. Es decir, de acuerdo con la Ecuación ( ref {6.4.8} ), cuanto más exactamente sepamos la posición exacta del electrón (como (Δx → 0 )), menos exactamente conoceremos la velocidad y la cinética energía del electrón (1/2 mv 2 ) porque (Δ (mv) → ∞ ). Por el contrario, cuanto más exactamente sepamos el momento preciso (y la energía) del electrón [como (Δ (mv) → 0 )], entonces (Δx → ∞ ) y no tenemos idea de dónde está el electrón.

 

El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno violó el principio de incertidumbre de Heisenberg al tratar de especificar simultáneamente tanto la posición (una órbita de un radio particular) como la energía (una cantidad relacionada con el momento) del electrón . Además, dada su naturaleza de masa y onda, el electrón en el átomo de hidrógeno no podría orbitar el núcleo en un camino circular bien definido como lo predice Bohr. Sin embargo, verá que el radio más probable del electrón en el átomo de hidrógeno es exactamente el predicho por el modelo de Bohr.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Naturaleza cuántica de las pelotas de béisbol

 

Calcule la incertidumbre mínima en la posición del béisbol lanzado del ejemplo ( ref {6.4.1} ) que tiene una masa de exactamente 149 gy una velocidad de 100 ± 1 mi / h.

 

Dado: masa y velocidad del objeto

 

Preguntado por: incertidumbre mínima en su posición

 

Estrategia:

 

         

  1. Reorganice la desigualdad que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg (Ecuación ( ref {6.4.7} )) para resolver la incertidumbre mínima en la posición de un objeto (Δ x ).
  2.      

  3. Encuentre Δ v convirtiendo la velocidad de la pelota de béisbol en las unidades SI apropiadas: metros por segundo.
  4.      

  5. Sustituye los valores apropiados en la expresión para la desigualdad y resuelve para Δ x .
  6.  

 

Solución:

 

A El principio de incertidumbre de Heisenberg (Ecuación ref {6.4.7}) nos dice que [(Δx) (Δ (mv)) = h / 4π ]. Reorganizar la desigualdad da

 

( Delta x ge left ({ dfrac {h} {4 pi}} right) left ({ dfrac {1} { Delta (mv)}} right) )

 

B Sabemos que h = 6.626 × 10 −34 J • sy m = 0.149 kg. Debido a que no hay incertidumbre en la masa del béisbol, Δ ( mv ) = m Δ v y Δ v = ± 1 mi / h. Tenemos

 

[ Delta
u = left ( dfrac {1 ; cancel {mi}} { cancel {h}} right) left ( dfrac {1 ; cancel {h}} {60 ; cancel {min }} right) left ( dfrac {1 ; cancel {min}} {60 ; s} right) left ( dfrac {1.609 ; cancel {km}} { cancel {mi} } right) left ( dfrac {1000 ; m} { cancel {km}} right) = 0.4469 ; m / s ]

 

C Por lo tanto,

 

[ Delta x ge left ( dfrac {6.626 times 10 ^ {- 34} ; J cdot s} {4 left (3.1416 right)} right) left ( dfrac {1} { left (0.149 ; kg right) left (0.4469 ; m cdot s ^ {- 1} right)} right) ]

 

Al insertar la definición de un julio (1 J = 1 kg • m 2 / s 2 ) se obtiene

 

[ Delta x ge left ( dfrac {6.626 times 10 ^ {- 34} ; cancel {kg} cdot m ^ { cancel {2}} cdot s} {4 left (3.1416 right) left ( cancel {s ^ {2}} right)} right) left ( dfrac {1 ; cancel {s}} { left (0.149 ; cancel { kg} right) left (0.4469 ; cancel {m} right)} right) ]

 

[ Delta x ge 7.92 pm times 10 ^ {- 34} ; m ]

 

Esto es igual a (3.12 veces 10 ^ {- 32} ) pulgadas. Podemos decir con seguridad que si un bateador juzga mal la velocidad de una bola rápida en 1 mi / h (alrededor del 1%), no podrá culpar al principio de incertidumbre de Heisenberg por golpear.

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Calcule la incertidumbre mínima en la posición de un electrón que viaja a un tercio de la velocidad de la luz, si la incertidumbre en su velocidad es ± 0.1%. Suponga que su masa es igual a su masa en reposo.

 

     

Respuesta

     

     

6 × 10 −10 m, o 0.6 nm (aproximadamente el diámetro de una molécula de benceno)

     

 

 

 

Resumen

 

Un electrón posee propiedades de partículas y ondas. El modelo moderno para la estructura electrónica del átomo se basa en reconocer que un electrón posee propiedades de partículas y ondas, la llamada dualidad onda-partícula . Louis de Broglie demostró que la longitud de onda de una partícula es igual a la constante de Planck dividida por la masa multiplicada por la velocidad de la partícula.

 

[ lambda = dfrac {h} {mv}
onumber ]

 

El electrón en las órbitas circulares de Bohr podría describirse como una onda estacionaria , una que no se mueve a través del espacio. Las ondas estacionarias son familiares en la música: la onda estacionaria de energía más baja es la vibración fundamental , y las vibraciones de energía más alta son armónicos y tienen sucesivamente más nodos , puntos donde la amplitud de la onda es siempre cero. El principio de incertidumbre de Werner Heisenberg establece que es imposible describir con precisión tanto la ubicación como la velocidad de las partículas que exhiben un comportamiento ondulatorio.

 

[ left ( Delta x right) left ( Delta left [mv right] right) geqslant dfrac {h} {4 pi}
onumber ]

 

Colaboradores

 

         

  • Modificado por Joshua Halpern ( Universidad de Howard )

     

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