Dado que ahora sabemos que un cable que transporta una corriente eléctrica está rodeado por un campo magnético, y también hemos decidido cómo vamos a definir la intensidad de un campo magnético, queremos preguntarnos si podemos calcular la intensidad. del campo magnético en la vecindad de varias geometrías de conductores eléctricos, como un cable recto, una bobina plana o un solenoide. Cuando estábamos calculando el campo eléctrico en las proximidades de varias geometrías de cuerpos cargados , comenzamos desde Ley de Coulomb , que nos dijo cuál era el campo en un distancia dada desde un punto de carga. ¿Hay algo similar en el electromagnetismo que nos dice cómo varía el campo magnético con la distancia de una corriente eléctrica ? De hecho, existe, y se llama la Ley de Biot-Savart.
( text {FIGURE VI.3} )
La Figura VI.3 muestra una parte de un circuito eléctrico que transporta una corriente (I ). La Ley de Biot-Savart nos dice cuál es la contribución ( delta B ) en un punto ( text {P} ) de una porción elemental del circuito eléctrico de longitud ( delta s ) a una distancia (r ) desde ( text {P} ), el ángulo entre la corriente en ( delta s ) y el vector de radio desde ( text {P} ) a ( delta s ) siendo (q ). La Ley Biot-Savart nos dice que
[ delta B ∝ frac {I delta s sin theta} {r ^ 2}. ]
Esta ley permitirá nosotros, integrándolo alrededor de varios circuitos eléctricos, para calcular el campo magnético total en cualquier punto cercano al circuito.
Pero, ¿puedo probar la Ley de Biot-Savart, o es solo una declaración calva de la nada? La respuesta es ninguno. No puedo probarlo, pero tampoco es simplemente una declaración calva de la nada. En primer lugar, no es una suposición irracional suponer que el campo es proporcional a (I ) y a ( delta s ), y también inversamente proporcional a (r ^ 2 ), ya que ( delta s ), en el límite, se acerca a una fuente puntual. Pero aún puede considerarlo, si lo desea, como especulación, incluso si es una especulación razonable. La física es una ciencia experimental, y hasta ese punto no se puede “probar” nada en sentido matemático; puedes experimentar y medir. La ley de Biot-Savart nos permite calcular cuál debería ser el campo magnético cerca de un cable recto, cerca de una corriente circular plana, dentro de un solenoide y, de hecho, cerca de cualquier geometría que puedas imaginar. Hasta ahora, después de haberlo usado para calcular el campo cerca de millones de conductores de una miríada de formas y tamaños, el campo predicho siempre ha estado de acuerdo con la medición experimental. Por lo tanto, es probable que la ley de Biot-Savart sea cierta, pero tiene toda la razón al afirmar que, sin importar cuántos campos magnéticos haya predicho correctamente, siempre existe la posibilidad de que algún día lo haga. predecir un campo para algún circuito de forma inusual que no esté de acuerdo con lo que se mide. Todo lo que se necesita es uno tal ejemplo, y la ley es refutada. Puede, si lo desea, probar y descubrir, para un Ph.D. proyecto, tal circuito; ¡pero no recomendaría que dediques tu tiempo!
Queda la cuestión de qué escribir para la constante de proporcionalidad. Somos libres de usar cualquier símbolo que nos guste, pero, en notación moderna, el símbolo que usamos es ( frac { mu_0} {4 pi} ). ¿Por qué el factor (4 pi )? La inclusión de (4 pi ) nos da lo que se llama una definición “racionalizada”, y se introduce por las mismas razones por las que introdujimos un factor similar en la constante de proporcionalidad para la ley de Coulomb, a saber, que resulta en la aparición de (4 pi ) en geometrías esféricamente simétricas, (2 pi ) en geometrías cilíndricamente simétricas, y no ( pi ) donde el campo magnético es uniforme. No todos usan esta definición, y esto se discutirá en un capítulo posterior, pero sin duda es la recomendada.
En cualquier caso, la Ley Biot-Savart toma la forma
[ delta B = frac { mu_0} {4 pi} frac {I delta s sin theta} {r ^ 2}. label {6.4.2} ]
La constante ( mu_0 ) se llama permeabilidad del espacio libre , “espacio libre” lo que significa un vacío. El subíndice permite la posibilidad de que si hacemos un experimento en un medio diferente al vacío, la permeabilidad puede ser diferente, y luego podemos usar un subíndice diferente, o ninguno. En la práctica, la permeabilidad del aire es muy poco diferente de la de un vacío y, por lo tanto, normalmente usaré el símbolo ( mu_0 ) para los experimentos realizados en el aire, a menos que estemos discutiendo medidas de muy alta precisión.
De la ecuación ref {6.4.2}, podemos ver que las unidades SI de permeabilidad son ( text {T m A} ^ {- 1} ) (metros de tesla por amp). En un capítulo posterior nos encontraremos con otra unidad, la henry , para una cantidad ( inductancia ) que aún no hemos descrito, y veremos entonces que es una unidad más conveniente para la permeabilidad es ( text {H m} ^ {- 1} ) (henrys por metro), pero nos estamos adelantando.
¿Cuál es el valor numérico de ( mu_0 )? Lo revelaré en el próximo capítulo.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Muestre que las dimensiones de permeabilidad son ( text {MLQ} ^ {- 2} ). Esto significa que puede, si lo desea, expresar la permeabilidad en unidades de ( text {kg m C} ^ {- 2} ), aunque puede obtener un aspecto extraño si lo hace.
Pensamiento del día.
El boceto muestra dos elementos actuales, cada uno de longitud ( delta s ), la corriente es la misma en cada pero en diferentes direcciones. ¿Es la fuerza sobre un elemento del otro igual pero opuesta a la fuerza sobre el otro del uno? Si no, ¿hay algo malo con la tercera ley de movimiento de Newton? Discuta esto durante el almuerzo.