Le recomiendo que compare y contraste esta derivación y el resultado con el tratamiento del campo eléctrico en el eje de un anillo cargado en Sección 1.6.4 del Capítulo 1. De hecho, estoy copiando el dibujando desde allí y luego modificándolo según sea necesario.
( text {FIGURE VI.5} )
La contribución al campo magnético en ( text {P} ) desde un elemento ( delta s ) de la corriente es ( dfrac { mu I delta s} {4 pi (a ^ 2 + x ^ 2)} ) en la dirección que muestra la flecha de color. Por simetría, el componente total de esto de toda la bobina perpendicular al eje es cero, y el único componente de interés es el componente a lo largo del eje, que es ( frac { mu I delta s} {4 pi (a ^ 2 + x ^ 2)} ) veces ( sin theta ) .
La integral de ( delta s ) alrededor de toda la bobina es solo la circunferencia de la bobina, (2 pi a ), y si escribimos ( sin theta = frac {a} {(a ^ 2 + x ^ 2) ^ {1/2}}, ) encontramos que el campo en ( text {P} ) de todo la bobina es
[B = dfrac { mu I a ^ 2} {2 (a ^ 2 + x ^ 2) ^ {3/2}}, ]
o (N ) veces esto si hay (N ) vueltas en la bobina. En el centro de la bobina, el campo es
[B = dfrac { mu I} {2a}. ]
El campo es mayor en el centro de la bobina y disminuye monotónicamente a cero en el infinito. El campo se dirige a la izquierda en la Figura IV.5.
Podemos calcular el campo en el plano del anillo de la siguiente manera.
Considere un elemento del cable en ( text {Q} ) de longitud (ad phi ). El ángulo entre la corriente en ( text {Q} ) y la línea ( text {PQ} ) es (90 ^ circ – ( theta – phi) ). La contribución al campo (B ) en ( text {P} ) del actual (I ) este elemento es
[ nonumber frac { mu_0} {4 pi} cdot frac {Ia cos ( theta – phi) , d phi} {r ^ 2}. ]
El campo de todo el anillo es, por lo tanto,
[ 19459009] [ frac {2 mu_0Ia} {4 pi} int_0 ^ pi frac { cos ( theta – phi) d phi} {r ^ 2}, nonumber ]
donde
[ nonumber r ^ 2 = a ^ 2 + x ^ 2 – 2ax cos phi, ]
y
[ nonumber cos ( theta – phi) = frac {a ^ 2 + r ^ 2-x ^ 2} {2ar}. ]
Esto requiere una integración numérica. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico, en el que la abscisa, (x ), es la distancia desde el centro del círculo en unidades de su radio, y la ordenada, (B ), es el campo magnético en unidades de su valor ( mu_0 I / (2a) ) en el centro. Más allá de (x = 0.8 ), el campo aumenta rápidamente.
