Aunque no podemos expresar el campo magnético como el gradiente de una función de potencial escalar, definiremos un vector cantidad ( textbf {A} ) cuyo rizo es igual al campo magnético:
[ textbf {B} = textbf {curl A} = nabla times textbf {A}. Label {9.2.1} ]
Así como ( textbf {E} = – nabla V ) no define (V ) de manera única (porque podemos agregarle una constante arbitraria), de manera similar, la ecuación ref {9.2. 1} no define ( textbf {A} ) únicamente. Porque, si (ψ ) es una cantidad escalar, siempre podemos agregar ( nabla ψ ) a ( textbf {A} ) sin afectar a ( textbf {B} ), porque ( nabla times nabla ψ = textbf {curl grad} ψ = 0 ).
El vector ( textbf {A} ) se llama potencial de vector magnético . Sus dimensiones son ( text {MLT} ^ {- 1} text {Q} ^ {- 1} ). Sus unidades SI se pueden expresar como ( text {T m, o Wb m} ^ {- 1} text {o N A} ^ {- 1} ).
Cabe señalar brevemente aquí que algunos autores definen el potencial del vector magnético desde ( textbf {H = curl A} ), aunque es una práctica estándar del SI definirlo desde ( textbf {B = curl A } ). Los sistemas de unidades y definiciones distintas de SI se tratarán en el Capítulo 16.
Ahora en electrostática, tenemos ( textbf {E} = frac {1} {4 pi epsilon} frac {q} {r ^ 2} hat { textbf {r}} ) para el campo eléctrico cerca de una carga puntual, y, con ( textbf {E} = – textbf {grad} V ), obtenemos para el potencial (V = frac {q} {4 pi epsilon r} ). En electromagnetismo tenemos ( textbf {dB} = frac { mu I} {4 pi r ^ 2} hat { textbf {r}} times textbf {ds} ) para la contribución a la campo magnético cerca de un elemento del circuito ( textbf {ds} ). Dado que ( textbf {B} = textbf {curl A} ), ¿podemos obtener una expresión para el potencial del vector magnético del elemento actual? La respuesta es sí, si reconocemos que ( hat { textbf {r}} / r ^ 2 ) se puede escribir (- nabla (1 / r) ). (Si esto no es obvio, vaya a la expresión para ( nabla ψ ) en coordenadas esféricas, y ponga (ψ = 1 / r ).) La ley de Biot-Savart se convierte en
[ textbf {dB} = – frac { mu I} {4 pi} nabla (1 / r) times textbf {ds} = frac { mu I} {4 pi } textbf {ds} times nabla (1 / r). label {9.2.3} ]
Dado que ( textbf {ds} ) es independiente de (r ), la nabla se puede mover a la izquierda del producto cruzado para obtener
[ textbf {dB} = nabla times frac { mu I} {4 pi r} textbf {ds}. Label {9.2.4} ]
La expresión ( frac { mu I} {4 pi r} textbf {ds} ), entonces, es la contribución ( textbf {dA} ) al potencial del vector magnético del circuito elemento ( textbf {ds} ). Por supuesto, un elemento de circuito aislado no puede existir por sí mismo, por lo tanto, para el potencial del vector magnético de un circuito completo, la integral de línea de este debe calcularse alrededor del circuito.