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9.4: solenoide largo

         

            
            
                

                

                
                     

                
            
         

                
                 

             

             

                 

Coloquemos un solenoide infinitamente largo de (n ) vueltas por unidad de longitud para que su eje coincida con el eje de coordenadas (z ), y la corriente (I ) fluya en el sentido de aumentando ( phi ). En ese caso, ya sabemos que el campo dentro del solenoide es uniforme y es ( mu , n , I , hat { textbf {z}} ) dentro del solenoide y cero afuera. Como el campo solo tiene un componente (z ), el potencial vectorial ( textbf {A} ) solo puede tener un componente ( phi ).

 

Supondremos que el radio del solenoide es (a ). Ahora considere un círculo de radio (r ) (menor que (a )) perpendicular al eje del solenoide (y por lo tanto al campo ( textbf {B} )). El flujo magnético a través de este círculo (es decir, la integral de superficie de ( textbf {B} ) a través del círculo) es ( pi r ^ 2B = pi r ^ 2 nI ). Ahora, como todos saben, la integral de superficie de un campo vectorial a través de una curva cerrada es igual a la integral de línea de su curvatura alrededor de la curva, y esto es igual a (2 pi r A_ phi ). Por lo tanto, dentro del solenoide, el potencial del vector es

 

[ textbf {A} = frac {1} {2} mu n r I hat { boldsymbol { phi}}. Label {9.4.1} ]

 

Se deja al lector argumentar que, fuera del solenoide ((r> a) ), el potencial del vector magnético es

 

[ textbf {A} = frac { mu na ^ 2 I} {2r} hat { boldsymbol { phi}}. ]