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La fisica y quimica

Capítulo 17. La ecuación de onda de Schrödinger

 

17.1 Funciones de onda

 

En 1926, Erwin Schrödinger razonó que si los electrones se comportan como ondas, entonces debería ser posible describirlos usando una ecuación de onda, como la ecuación que describe las vibraciones de las cuerdas (discutido en Capítulo 1 ) o la ecuación de Maxwell para ondas electromagnéticas (discutida en Capítulo 5 ). [1]

 

17.1.1 Funciones de onda clásicas

 

Una ecuación de onda típicamente describe cómo evoluciona una función de onda en el tiempo. Una función describe una relación entre dos valores. La función f ( x ) = x +1, por ejemplo, es una función porque por cada valor de x se obtiene un nuevo valor de f ( x ).

 

Una función de onda describe el comportamiento de algo que se agita. En el caso de las ecuaciones de Maxwell, la función de onda describe el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos. En el caso de una onda en una cuerda, la función de onda describe el desplazamiento de la cuerda. Todas las ondas se pueden describir en términos de la suma de ondas sin o cos (discutido en Capítulo 2 ), con ajustes en la posición del pico, la longitud de onda y la amplitud.

 

La posición del pico se cambia sumando o restando un número de x . La ola producida en una gráfica de x contra y para y ( x ) = cos ( x ) , por ejemplo, se puede mover 90 ° a la derecha restando 90 de x , o 90 ° a la izquierda sumando 90 a x , como se muestra en la Figura 17.1.

 

La longitud de onda se puede cambiar multiplicando un número por x . La longitud de onda producida en una gráfica de x contra y para y ( x ) = cos ( x ) , por ejemplo, puede duplicarse multiplicando x por 1/2 o triplicar multiplicando x por 1/3. Puede reducirse a la mitad multiplicándolo por dos o dividido en tercios multiplicándolo por tres, como se muestra en la Figura 17.2.

 

La amplitud se puede cambiar multiplicando el resultado por una constante. La amplitud producida en una gráfica de x contra y para y ( x ) = cos ( x ) , por ejemplo, puede duplicarse multiplicando cos ( x ) por dos. Se puede reducir a la mitad multiplicándolo por 1/2, como se muestra en la Figura 17.3. Para las ondas en movimiento, estos factores se ven afectados por el tiempo y la posición, por lo que y ( x ) se denota Ψ ( x , t [ 19459019]).

 

 

 A plot of cos(x), cos(x+90 °), and cos(x-90 °).  cos(x-90 °) = sin(x). In the first plot, the peak is at 0. The second plot moves backwards by 90°, and the third plot moves forward by the same amount.

 

 

 

 

 

Figura 17.1
Crédito de imagen

Una gráfica que muestra el efecto de agregar una constante a x antes de calcular.

 

 

 

 A plot of cos(x), cos(1/2x), and cos(2x).  In the first plot, the wavelength is 360°. In the second plot, the wavelength is twice as long, and in the third, it is half as long.

 

 

 

 

 

Figura 17.2
Crédito de imagen

Una gráfica que muestra el efecto de multiplicar x por una constante antes de calcular.

 

 

 

 A plot of cos(x), 2cos(x), and 1/2cos(x).  In the first plot, the peak is at 1. In the second, the peak is at 2, and in the third, it is at 1/2.

 

 

 

 

 

Figura 17.3
Crédito de imagen

Una gráfica que muestra el efecto de multiplicar el resultado por una constante después del cálculo.

 

 

La ecuación general para una onda en movimiento es,

 

 

   

     

     

   

 

Ψ ( x , t ) = A cos ( kx ωt ) (17,1)

 

 

A es igual a la amplitud. k se multiplica por x para determinar la longitud de onda, y ωt determina dónde se encuentra el pico.

 

La longitud de onda puede duplicarse multiplicando x por 1/2 o triplicarse multiplicando x por 1/3, más precisamente,

 

 

   

     

     

   

 

K = λ original / λ ] medido =
  360 ° / λ =
  2 π / λ
(17,2)

 

 

Aquí, un ciclo completo de una onda sinusoidal o costera es 360 °, que es igual a 2 π radianes. [t define dónde está el pico, por lo que esto depende de la longitud de onda, que define con qué frecuencia ocurre un pico, y la velocidad de la onda, que define dónde está en relación con el tiempo ( t [ 19459019]).

 

 

   

     

     

   

 

ω = 2 π ν = 2 π ν ] / λ = k ν (17,3)

 

 

Aquí, ν es la frecuencia (discutida en Capítulo 4 ).

 

La ecuación Ψ ( x , t ) = A cos ( kx ωt ) puede También se escribirá usando los números i y e, usando la fórmula del matemático suizo Leonhard Euler,

 

 

   

     

     

   

 

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) (17,4)

 

 

Esto da A cos ( kx ωt ) + i sin ( kx ωt ) = A e i ( kx ωt ) . La parte real de esta ecuación da,

 

 

   

     

     

   

 

Ψ ( x , t ) = A e i ( kx ωt ) (17,5)

 

 

17.1.2 Funciones de onda cuántica

 

Schrödinger vio que para un objeto con E = h ν (la relación de Planck, donde E es igual a energía y ] h es la constante de Planck), y λ = h / p (la longitud de onda de De Broglie, donde p es el momento ), esta ecuación se puede reescribir como una función de onda cuántica.

 

Utilizando k = 2 π / λ [ 19459061], ω = 2 π ν , λ = h [19459061 ] / p , E = h ν , y [ 19459018] ħ = h / 2 π da, [ 19459014]

 

 

   

     

     

   

 

Ψ ( x , t ) = A e i ( px – [ 19459018] Et ) / ħ
 
(17,6)

 

 

Esta es la función de onda cuántica. La ecuación de Schrödinger muestra cómo la función de onda cuántica cambia con el tiempo.

 

 

Los números e y i

 

El número i

 

i es igual a la raíz cuadrada de menos 1.

 

   

     

     

   

 

i = √ -1 y i × i = -1 (17,7)

 

El número i parece imposible, después de todo, la raíz cuadrada de un número (por ejemplo, 4) es igual a otro número que, multiplicado por sí mismo, se convierte en el primero (por ejemplo, 2 × 2 = 4, y así la raíz cuadrada de 4 es 2), y cualquier número que se multiplique por sí mismo debería ser positivo. i multiplicado por i se toma igual a -1 porque esta suposición ayudó a resolver problemas matemáticos como ecuaciones cúbicas.

 

El matemático italiano Rafael Bombelli fue el primero en introducir las leyes para multiplicar i y -i en 1572. [2] Aunque el símbolo no se introdujo hasta el Siglo XVIII, [3] Rene Descartes se refirió a i como un número imaginario en 1637. [4] [ 19459013]

 

Ese mismo año, Descartes [4] y Pierre de Fermat [5] idearon independientemente la coordenada cartesiana sistema, que se utiliza para trazar puntos en un gráfico.

 

El número e

 

El matemático alemán Gottfried Leibniz fue una de las primeras personas en considerar que un nuevo número era especial: el número e. [6] e está relacionado con las leyes de logaritmos, que fueron diseñadas por el matemático suizo Jost Bürgi [7] [19459008 ] y el matemático escocés John Napier en 1614. [8]

 

Las escalas logarítmicas se usan para mostrar cantidades que se hacen rápidamente más grandes. Bürgi y Napier mostraron eso,

 

   

     

     

   

 

Si x = a y luego log a (x) = y (17,8)

 

Una cantidad que aumenta de 10 a 100 a 1000, por ejemplo, utiliza una base de 10.

 

Si x = a y entonces log a (x) = y [ 19459019], y así,

 

Si 10 = 10 1 entonces log 10 (10) = 1

 

Si 100 = 10 2 entonces log 10 (100) = 2

 

Si 1000 = 10 3 entonces log 10 (1000) = 3 …

 

Después de la invención de las coordenadas cartesianas, se podría dibujar un gráfico que permita trazar cantidades de uno a mil millones, por ejemplo, en el mismo eje.

 

Los logaritmos a la base de 10 son comunes pero se puede usar cualquier número y Bürgi y Napier hicieron tablas de logaritmos en diferentes bases. Una base que es de particular interés es la base de aproximadamente 2.718. Euler se refirió por primera vez a este número como e en 1731. [9]

 

 

 Plots of numbers from one to one billion. Firstly, on a normal plot showing that it is difficult to see the lower numbers on the same scale as the higher numbers. Secondly, on a logarithmic plot to the base of 10, and thirdly on a logarithmic plot to the base of e. It is much easier to see all the values on these plots.

 

 

 

 

 

Figura 17.4
Crédito de imagen

Gráficos que muestran los números en la tabla. La gráfica central usa una escala logarítmica a la base de 10, y la gráfica inferior usa una escala logarítmica a la base de e.

 

 

En 1748, Euler demostró que e es un número irracional que está fundamentalmente relacionado con muchas leyes de las matemáticas. [10]

 

Euler mostró que,

 

   

     

     

   

 

e = 1 + 1 / 1 + 1 / [ 19459061] 1 × 2 + 1 / 1 × 2 × 3 + 1 / 1 × 2 × 3 × 4 (17,9)

 

… con la secuencia continua para siempre.

 

Euler también mostró que el número e está conectado a los números i, π , 1 y 0, y que e e i están conectados a la trigonometría.

 

   

     

     

   

 

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) (17.11)

 

Los matemáticos describen los resultados que conectan dos conceptos aparentemente no relacionados como “profundos”. [11] [12]

 

Diferenciación

 

La diferenciación es una rama del cálculo (la otra es la integración). El cálculo es un sistema matemático desarrollado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz a fines del siglo XVII. [13] La velocidad ( v ) es igual a la distancia ( d ) dividida por el tiempo necesario (Δ [ 19459018] t ), y así,

 

   

     

     

   

 

v = d / Δ t [19459061 ] = Δ x / Δ t (17.12)

 

Aquí, Δ debe leerse como “cambio en” y x es posición, donde un cambio de posición es igual a una distancia. Esto significa que la velocidad de alguien se puede determinar trazando la posición contra el tiempo. La velocidad es igual al gradiente de la gráfica. Esto es equivalente a elegir un período de tiempo (Δ t ), determinar el cambio de posición durante ese período (Δ x ), y luego usar v = [ 19459057] Δ x / Δ t .

 

No puede medir la velocidad en un instante usando este método porque ambos valores serían 0.

 

 

 A plot of x against t for the equation x = 2t. This creates a straight line, where the velocity is equal to the gradient.

 

 

 

 

 

Figura 17.5
Crédito de imagen

Una gráfica de x contra t para la ecuación x = 2 t . La velocidad promedio es de 2 m / s.

 

 

Este método es preciso si la persona se mueve a una velocidad constante, produciendo una línea recta, como se muestra en la Figura 17.5. Sin embargo, si la velocidad no es constante, entonces ya no sabe si la velocidad promedio que ha calculado es precisa. Si midió la velocidad en t = 1 para ser 2 m / s, y en t = 2 para ser 4 m / s, puede suponer que la velocidad promedio en este período fue 3 m / s, por ejemplo. Pero, ¿qué pasa si la velocidad subió a 100 m / s entre t = 1.1 y t = 1.9? Entonces la velocidad promedio no está representada por la ecuación en absoluto.

 

Puede obtener una medición más precisa de la velocidad en cualquier momento en particular haciendo Δ t lo más pequeño posible. Esto es casi lo mismo que medir la velocidad en un instante y se logra al diferenciar la ecuación, como se muestra en la Figura 17.6.

 

 

 A plot of x against t for the equation x = e<sup>3t</sup>. This creates a curve, where an approximation of the average velocity can be found from the gradient.” class=”book-image-center lazyload”> </div>
<p> </p>
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Figura 17.6
Crédito de imagen

Una gráfica de x contra t para la ecuación x = e 3 t . La velocidad promedio varía según el tamaño de Δ t .

 

 

Cuando diferencia una ecuación, calcula cuál sería el resultado si utiliza el Δ x y el Δ t más pequeños que pueda. Luego puede calcular la velocidad casi instantánea en cualquier momento. Cuando Δ x y Δ t son ​​muy pequeños, se conocen como d x yd t . Para diferenciar x = 3 t , por ejemplo, puede usar,

 

   

     

     

     

   

   

    

     

     

     

   

   

      

     

     

     

   

   

   

Δ x / Δ t = (3 × ( t + d t )) – (3 × t ) / d t (17,13)
= (3 × ( t + d t t ) / ] d t
= 3

 

Aquí t es el momento al comienzo de d t .

 

   

   

     

     

   

   

   

     

   

   

   

   

     

     

   

   

   

     

   

   

  
     

   

     

   

   

   

   

     

   

   

   

En general,
d / d t ( en ) = un (17,14)
Otras reglas incluyen,
d / d t (t n ) = [19459018 ] nt n -1 (17,15)
y
d / d t (e n [ 19459013]) = n e n (17,16)

 

Si sabe d x / d t pero quiere calcule cuál era la ecuación original antes de diferenciarla, luego puede hacerlo invirtiendo el proceso. Esto se conoce como integración.

 

 

17.1.3 La ecuación de onda de Schrödinger

 

Schrödinger mostró cómo la función de onda cuántica cambia con el tiempo utilizando la diferenciación.

 

 

   

     

     

     

   

   

   

     

     

     

   

   

   

     

     

     

   

   

  
     

     

     

     

   

   

  
  
   

     

     

     

   

   

 

Ψ ( x , t ) = A e i ( px Et ) / [19459063 ] ħ
 
(17,17)
dΨ ( x , t ) / d x [19459061 ] = i p / ħ Ψ ( x [ 19459019], t ) (17,18)
d 2 Ψ ( x , t ) / d [ 19459018] x 2 = ( i p / ħ ) 2 Ψ ( x , t ) (17,19)
= ( p / ħ 19459118]) 2 Ψ ( x , t )
dΨ ( x , t ) / d t [19459061 ] = i E / ħ Ψ ( x [ 19459019], t ) (17,20)

 

 

La energía total ( E ) es igual a la energía cinética ( KE ) más la energía potencial ( PE ) (discutido en el Libro I).

 

 

   

     

     

     

     

   

   

     

     

     

     

     

   

   

   

     

     

     

     

   

   

       

     

     

     

     

   

   

   

     

  

     

     

   

   

       

     

     

     

     

   

   

   

     

  

     

     

   

   

 

E = KE + PE (17,21)
y
KE = 1 / 2 mv 2 = [19459058 ] m 2 v 2 / 2 m = p 2 / 2 m [19459061 ] (17,22)
y así
dΨ ( x , t ) / d t [19459061 ] = -i / ħ ( p 2 / 2 m + PE ( x ) ) Ψ ( x , t )
     
(17,23)
dando
i ħ dΨ ( x , t ) / d [ 19459018] t = p 2 / 2 m [19459061 ] Ψ ( x , t ) + PE ( x ) Ψ ( x , t ) (17,24)

 

Utilizando

  d 2 Ψ ( x , t ) / d x 2 = p 2 / ħ 2 Ψ ( x , t ),
    

 

 

   

     

  

     

     

   

   

     

     

     

     

     

   

   

   

     

     

     

     

   

   

       

     

     

     

     

   

   

   

     

     

     

     

   

   

 

i ħ dΨ ( x , t ) / d [ 19459018] t = ħ 2 / 2 m [19459061 ]
      d 2 Ψ ( x , t ) / d x 2 + PE ( x ) Ψ ( x , t )
(17,25)
o
H Ψ ( x , t ) = E Ψ ( x , t ) (17,26)
donde
H = i ħ d / d t y E = ħ 2 / 2 m d 2 / d x 2 ] + PE ( x ) (17,27)

 

 

Esta es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, o ecuación de onda, para una sola partícula cargada no relativista que se mueve en un campo eléctrico. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es,

 

 

   

     

     

   

 

E Ψ ( x ) = ħ 2 / [ 19459061] 2 m d 2 Ψ ( x ) / d x 2 + PE ( x ) Ψ ( x ) (17,28)

 

 

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo describe todas las características del electrón que podemos medir y puede extenderse para incluir cualquier otro objeto bajo casi cualquier otra fuerza.

 

La ecuación de Schrödinger puede usarse para hacer exactamente las mismas predicciones que el principio de incertidumbre de Werner Heisenberg (discutido en Capítulo 16 ). Puede calcular dónde se ubicarán las ondas de electrones dentro de un átomo y predecir dónde ocurrirán las líneas espectrales.

 

La ecuación de Schrödinger describe el mundo en términos de ondas que evolucionan continuamente, y la ecuación de Heisenberg lo describe en términos de partículas que experimentan “saltos” instantáneos de un lugar a otro sin moverse a través del espacio intermedio. Muchos físicos prefirieron el enfoque de Schrödinger porque era más fácil de visualizar y usaban matemáticas más familiares.

 

Schrödinger continuó mostrando que su ecuación de onda es equivalente al principio de incertidumbre de Heisenberg, [14] aunque ambos argumentaron por la superioridad de su propio enfoque. [15] Niels Bohr, sin embargo, creía que ambas opiniones eran igualmente válidas. [16]

 

17.1.4 Probabilidad de nubes y la regla de Born

 

En las ecuaciones de onda clásicas, la función de onda tiene un significado real, describe algo que se agita físicamente, pero la ecuación de onda de Schrödinger no tenía interpretación física. [17]

 

In 1926, Schrödinger believed that electron waves were always spread out across all of space and that the square of the wave function gave the charge density of the electron wave in any particular location. [18,19] This was a reasonable assumption since the wave appeared to be densest in the places where Bohr’s theory predicted electrons would be. Yet Schrödinger’s interpretation could not explain quantum tunnelling.

 

Max Born proposed a different interpretation that same year. Born stated that the square of the wave function does not represent the physical density of electron waves, but their probability density. [20] This is the probability of finding an electron in any particular state, that is, with any particular position, momentum, or energy, at any particular time. The de Broglie model of the atom (discussed in Chapter 15 ) was now replaced with the idea that electrons exist in a superpositional ‘probability cloud’.

 

17.2 Quantum superpositions

 

During the double-slit experiment, it’s the probability density that’s ‘waving’, and the interference pattern is produced by the superposition of possible paths the electron could take.

 

Anything that can be described by the Schrödinger equation can be described as being in a superpositional state, where it exists in all possible quantum states at once. A superposition is composed of all of the solutions to the Schrödinger equation and – since the Schrödinger equation is linear – there is often an infinite amount of solutions.

 

Linear equations are equations with the form a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = c , where c and a 1 a n are constants, and x 1 x n vary. A linear equation with one variable, 3 x = 9 for example, has one solution, x = 9/3 = 3. Linear equations with two or more variables have an infinite amount of solutions.

 

A linear equation with two variables, y = 3 x +3 for example, has possible solutions x = 1, y = 6, x = 2, y = 9, x = 3, y = 12… etc. and produces a straight line when plotted on a graph. With three variables, 2 x +3 y z = 9 for example, possible solutions include x = 1, y = 2, z = -4, x = 2, y = 2, z = 1, x = 2, y = 1, z = -2 etc. and the equation produces a plane when plotted.

 

If during the double-slit experiment, the position of the electron were measured, however, then a single result would be given with a probability of 100%. All other measurements would confirm this result, and an interference pattern would not form.

 

17.2.1 The collapse approach

 

Heisenberg interpreted the process of measurement as invoking a ‘collapse’ of the wave function, from a superpositional state into a single state, with a probability determined by Born’s rule. This is known as the Copenhagen interpretation or collapse approach to quantum mechanics. [21]

 

The collapse approach suggests that the universe must be objectively indeterminate because you cannot predict which state a superposition will collapse into, you can only assign a probability to each possibility. This implies that you cannot know the future of the universe, even if you knew all of the physical laws and everything about its current state. Schrödinger and Albert Einstein did not agree. [22]

 

17.3 The 1927 Solvay Conference on Physics

 

The search for the physical meaning behind these new equations was discussed at the 1927 Solvay Conference on Physics. This was attended by 29 scientists, including Erwin Schrödinger, Albert Einstein, Max Planck, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Louis de Broglie, Paul Dirac, Max Born, Marie Skłodowska-Curie, and Charles Thomson Rees Wilson, and Arthur Compton. [19]

 

In a joint paper delivered to the conference, Heisenberg and Born stated,

 

we consider quantum mechanics to be a closed theory, whose fundamental physical and mathematical assumptions are no longer susceptible of any modification. [23]

 

Schrödinger and Einstein disagreed, and argued that quantum mechanics is a statistical approximation of an underlying deterministic theory [22] (discussed in Chapter 18 ).