El átomo temprano

 

El descubrimiento de las partes del átomo

 

El uso científico moderno denota que el átomo está compuesto de partículas constituyentes: el electrón, el protón y el neutrón.

 

 

 

Aunque originalmente visto como una partícula que no se puede cortar en partículas más pequeñas, el uso científico moderno denota que el átomo está compuesto de varias partículas subatómicas. Las partículas constituyentes de un átomo (cada una descubierta independientemente) son: el electrón, el protón y el neutrón. (Sin embargo, el átomo de hidrógeno-1 no tiene neutrones, y un ion de hidrógeno positivo no tiene electrones).

 

 

Electrón

 

El físico alemán Johann Wilhelm Hittorf emprendió el estudio de la conductividad eléctrica en gases enrarecidos. En 1869, descubrió un resplandor emitido por el cátodo que aumentó de tamaño con la disminución de la presión de gas. En 1896, el físico británico J. J. Thomson realizó experimentos que demuestran que los rayos catódicos eran partículas únicas, en lugar de ondas, átomos o moléculas, como se creía anteriormente. Thomson hizo buenas estimaciones tanto de la carga [latex] text {e} [/ latex] como de la masa [latex] text {m} [/ latex], encontrando que las partículas de rayos catódicos (que llamó “corpúsculos”) tenían quizás una milésima parte de la masa de hidrógeno, el ion menos masivo conocido. Mostró que su relación carga / masa (e / m) era independiente del material del cátodo. (La figura 1 muestra un haz de electrones desviados).

 

 

Protón

 

En 1917 (en experimentos reportados en 1919), Rutherford demostró que el núcleo de hidrógeno está presente en otros núcleos, un resultado generalmente descrito como el descubrimiento del protón. Anteriormente, Rutherford aprendió a crear núcleos de hidrógeno como un tipo de radiación producida como un rendimiento del impacto de las partículas alfa en el gas de hidrógeno; Estos núcleos fueron reconocidos por su firma de penetración única en el aire y su aparición en detectores de centelleo. Estos experimentos comenzaron cuando Rutherford notó que cuando las partículas alfa se disparaban al aire (principalmente nitrógeno), sus detectores de centelleo mostraban las firmas de los núcleos de hidrógeno típicos como producto. Después de la experimentación, Rutherford trazó la reacción al nitrógeno en el aire y descubrió que el efecto era mayor cuando se producían alfa en gas nitrógeno puro. Rutherford determinó que la única fuente posible de este hidrógeno era el nitrógeno y, por lo tanto, el nitrógeno debe contener núcleos de hidrógeno. Un núcleo de hidrógeno fue eliminado por el impacto de la partícula alfa, produciendo oxígeno-17 en el proceso. Esta fue la primera reacción nuclear reportada, [latex] 14 text {N} + alpha rightarrow 17 text {O} + text {p} [/ latex].

 

Neutron

 

En 1920, Ernest Rutherford concibió la posible existencia del neutrón. En particular, Rutherford examinó la disparidad encontrada entre el número atómico de un átomo y su masa atómica. Su explicación para esto fue la existencia de una partícula cargada neutralmente dentro del núcleo atómico. Consideró que el neutrón es un doble neutro que consiste en un electrón en órbita alrededor de un protón. En 1932, James Chadwick mostró partículas no cargadas en la radiación que utilizó. Estas partículas tenían una masa similar a la de los protones, pero no tenían las mismas características que los protones. Chadwick siguió algunas de las predicciones de Rutherford, el primero en trabajar en este campo entonces desconocido.

 

 

Primeros modelos del átomo

 

Dalton creía que esa materia está compuesta de unidades discretas llamadas átomos, partículas de materia indivisibles y últimas.

 

 

 

El átomo es una unidad básica de materia que consiste en un núcleo central denso rodeado por una nube de electrones cargados negativamente. El núcleo atómico contiene una mezcla de protones cargados positivamente y neutrones eléctricamente neutros (excepto en el caso del hidrógeno-1, que es el único nucleido estable sin neutrones). Los electrones de un átomo están unidos al núcleo por la fuerza electromagnética. Tenemos un modelo detallado (y preciso) del átomo ahora, pero nos llevó mucho tiempo encontrar la respuesta correcta.

 

 

La gente ha especulado durante mucho tiempo sobre la estructura de la materia y la existencia de átomos. Las primeras ideas significativas para sobrevivir son de los antiguos griegos del siglo V a. C., especialmente de los filósofos Leucipo y Demócrito. (Existe cierta evidencia de que los filósofos tanto en India como en China hicieron especulaciones similares aproximadamente al mismo tiempo). Consideraron la cuestión de si una sustancia puede dividirse sin límite en piezas cada vez más pequeñas. Solo hay unas pocas respuestas posibles a esta pregunta. Una es que es posible una subdivisión infinitesimalmente pequeña. Otra es lo que Demócrito en particular creía: que hay una unidad más pequeña que no se puede subdividir más. Demócrito lo llamó el átomo. Ahora sabemos que los átomos en sí pueden subdividirse, pero su identidad se destruye en el proceso, por lo que los griegos tenían razón en un aspecto. Los griegos también sintieron que los átomos estaban en constante movimiento, otra noción correcta.

 

Los griegos y otros especularon sobre las propiedades de los átomos, y propusieron que solo existían unos pocos tipos y que toda la materia se formaba como varias combinaciones de estos tipos. La famosa propuesta de que los elementos básicos eran tierra, aire, fuego y agua era brillante pero incorrecta. Los griegos habían identificado los ejemplos más comunes de los cuatro estados de la materia (sólido, gas, plasma y líquido) en lugar de los elementos químicos básicos. Pasaron más de 2000 años antes de que se pudieran hacer observaciones con equipos capaces de revelar la verdadera naturaleza de los átomos.

 

A lo largo de los siglos, se hicieron descubrimientos sobre las propiedades de las sustancias y sus reacciones químicas. Se reconocieron ciertas características sistemáticas, pero las similitudes entre elementos comunes y raros resultaron en esfuerzos para transmutarlos (plomo en oro, en particular) para obtener ganancias financieras. El secreto era un lugar común. Los alquimistas descubrieron y redescubrieron muchos hechos, pero no los hicieron ampliamente disponibles. Cuando terminó la Edad Media, la práctica de la alquimia se desvaneció gradualmente y surgió la ciencia de la química. Ya no era posible, ni se consideraba deseable, mantener los descubrimientos en secreto. El conocimiento colectivo creció y, a principios del siglo XIX , un hecho importante estaba bien establecido: las masas de reactivos en reacciones químicas específicas siempre tienen una relación de masa particular. Esta es una evidencia indirecta muy fuerte de que hay unidades básicas (átomos y moléculas) que tienen estas mismas relaciones de masa. El químico inglés John Dalton (1766-1844) realizó gran parte de este trabajo, con importantes contribuciones del físico italiano Amedeo Avogadro (1776-1856). Fue Avogadro quien desarrolló la idea de un número fijo de átomos y moléculas en un lunar. Este número especial se llama el número de Avogadro en su honor ([latex] 6.022 cdot 10 ^ {23} [/ latex]).

 

Dalton creía que la materia está compuesta de unidades discretas llamadas átomos, en oposición a la noción obsoleta de que la materia podría dividirse en cualquier cantidad arbitrariamente pequeña. También creía que los átomos son las partículas indivisibles y últimas de la materia. Sin embargo, esta creencia fue anulada cerca del final del siglo 19 por Thomson, con su descubrimiento de electrones.

 

 

 

El modelo de Thomson

 

Thomson propuso que el átomo está compuesto de electrones rodeados por una sopa de carga positiva para equilibrar las cargas negativas de los electrones.

 

 

 

J. J. Thomson, quien descubrió el electrón en 1897, propuso el modelo de pudín de ciruela del átomo en 1904 antes del descubrimiento del núcleo atómico para incluir el electrón en el modelo atómico. En el modelo de Thomson, el átomo está compuesto de electrones (que Thomson todavía llamaba “corpúsculos”, aunque GJ Stoney había propuesto que los átomos de electricidad se llamaran electrones en 1894) rodeado de una sopa de carga positiva para equilibrar las cargas negativas de los electrones, como “ciruelas” cargadas negativamente rodeadas de “pudín” cargado positivamente. Se pensaba que los electrones (como los conocemos hoy) estaban posicionados en todo el átomo en anillos giratorios. En este modelo, el átomo también se describía a veces como una “nube” de carga positiva.

 

 

Con este modelo, Thomson abandonó su hipótesis anterior de “átomo nebular”, en la que el átomo estaba compuesto de vórtices inmateriales. Ahora, al menos parte del átomo debía estar compuesto por los corpúsculos negativos de partículas de Thomson, aunque el resto de la parte cargada positivamente del átomo permaneció algo nebuloso y mal definido.

 

El modelo Thomson de 1904 fue refutado por el experimento de la lámina de oro de 1909 realizado por Hans Geiger y Ernest Marsden. Este experimento de lámina de oro fue interpretado por Ernest Rutherford en 1911 para sugerir que hay un núcleo muy pequeño del átomo que contiene una carga positiva muy alta (en el caso del oro, suficiente para equilibrar la carga negativa colectiva de aproximadamente 100 electrones). Sus conclusiones lo llevaron a proponer el modelo de Rutherford del átomo.

 

 

 

El modelo de Rutherford

 

Rutherford confirmó que el átomo tenía un centro concentrado de carga positiva y una masa relativamente grande.

 

 

 

El modelo de Rutherford es un modelo del átomo que lleva el nombre de Ernest Rutherford. Rutherford dirigió el famoso experimento Geiger-Marsden en 1909, que sugirió, según el análisis de Rutherford de 1911, que el llamado “modelo de pudín de ciruela” del átomo de J. J. Thomson era incorrecto. El nuevo modelo de Rutherford para el átomo, basado en los resultados experimentales, contenía las nuevas características de una carga central relativamente alta concentrada en un volumen muy pequeño en comparación con el resto del átomo. Este volumen central también contenía la mayor parte de la masa del átomo. Esta región más tarde se llamaría el “núcleo”. “

 

 

En 1911, Rutherford diseñó un experimento para explorar más la estructura atómica utilizando las partículas alfa emitidas por un elemento radiactivo. Siguiendo su dirección, Geiger y Marsden dispararon partículas alfa con grandes energías cinéticas hacia una delgada lámina de oro. Se esperaba que la medición del patrón de partículas dispersas proporcionara información sobre la distribución de carga dentro del átomo. Según el modelo predominante de pudín de ciruela, las partículas alfa deberían haberse desviado, como máximo, unos pocos grados. Sin embargo, los resultados reales sorprendieron a Rutherford. Aunque muchas de las partículas alfa pasaron como se esperaba, muchas otras fueron desviadas en ángulos pequeños, mientras que otras se reflejaron en la fuente alfa.

 

A partir de consideraciones puramente energéticas de hasta qué punto las partículas de velocidad conocida podrían penetrar hacia una carga central de 100 e, Rutherford pudo calcular que el radio de su carga central de oro tendría que ser menor que [látex] 3.4 cdot 10 ^ {- 14} [/ latex] metros. Esto estaba en un átomo de oro que se sabe que tiene aproximadamente [látex] 10 ^ {- 10} [/ látex] metros de radio; un hallazgo muy sorprendente, ya que implicaba una fuerte carga central menor que [látex] frac {1} {3000} [/ látex] ^th del diámetro del átomo.

 

 

 

El modelo de Bohr del átomo

 

Bohr sugirió que los electrones en el hidrógeno podrían tener ciertos movimientos clásicos solo cuando están restringidos por una regla cuántica .

 

 

 

El modelo de Bohr del átomo

 

El gran físico danés Niels Bohr (1885–1962) hizo uso inmediato del modelo planetario del átomo de Rutherford. Bohr se convenció de su validez y pasó parte de 1912 en el laboratorio de Rutherford. En 1913, después de regresar a Copenhague, comenzó a publicar su teoría del átomo más simple, el hidrógeno, basada en el modelo planetario del átomo.

 

 

Durante décadas, se hicieron muchas preguntas sobre las características atómicas. Desde sus tamaños hasta sus espectros, se sabía mucho sobre los átomos, pero poco se había explicado en términos de las leyes de la física. La teoría de Bohr explicó el espectro atómico del hidrógeno, lo hizo instantáneamente famoso y estableció principios nuevos y ampliamente aplicables en mecánica cuántica.

 

Un gran rompecabezas que tenía el modelo planetario del átomo era el siguiente. Las leyes de la mecánica clásica predicen que el electrón debería liberar radiación electromagnética mientras orbita un núcleo (según las ecuaciones de Maxwell, la carga acelerada debería emitir radiación electromagnética). Debido a que el electrón perdería energía, gradualmente iría en espiral hacia adentro, colapsando en el núcleo. Este modelo atómico es desastroso, porque predice que todos los átomos son inestables. Además, a medida que el electrón gira en espiral hacia adentro, la emisión aumentaría gradualmente en frecuencia a medida que la órbita se hiciera más pequeña y más rápida. Esto produciría una mancha continua, en frecuencia, de radiación electromagnética. Sin embargo, los experimentos de finales del siglo XIX con descargas eléctricas han demostrado que los átomos solo emitirán luz (es decir, radiación electromagnética) a ciertas frecuencias discretas.

 

Para superar esta dificultad, Niels Bohr propuso, en 1913, lo que ahora se llama el modelo de Bohr del átomo. Sugirió que los electrones solo podían tener ciertos movimientos clásicos:

 

 
1. Los electrones en los átomos orbitan el núcleo.

 

2. Los electrones solo pueden orbitar de manera estable, sin irradiar, en ciertas órbitas (llamadas por Bohr las “órbitas estacionarias”): en un cierto conjunto discreto de distancias desde el núcleo. Estas órbitas están asociadas con energías definidas y también se llaman capas de energía o niveles de energía. En estas órbitas, la aceleración del electrón no produce radiación y pérdida de energía como lo requiere la electrodinámica clásica.

 

3. Los electrones solo pueden ganar y perder energía saltando de una órbita permitida a otra, absorbiendo o emitiendo radiación electromagnética con una frecuencia [látex] nu [/ látex] determinada por la diferencia de energía de los niveles según la relación de Planck:

 

 

[látex] Delta { text {E}} = text {E} _2- text {E} _1 = text {h} nu , [/ latex]

 

donde [latex] text {h} [/ latex] es la constante de Planck y [latex] nu [/ latex] es la frecuencia de la radiación.

 

Modelo semiclásico

 

La importancia del modelo de Bohr es que las leyes de la mecánica clásica se aplican al movimiento del electrón alrededor del núcleo solo cuando están restringidas por una regla cuántica . Por lo tanto, su modelo atómico se llama modelo semiclásico.

 

 

Suposiciones básicas del modelo de Bohr

 

Bohr explicó el espectro de hidrógeno con éxito al adoptar una condición de cuantificación e introducir la constante de Planck en su modelo.

 

 

 

En módulos anteriores, hemos visto rompecabezas de teorías atómicas clásicas (por ejemplo, el modelo de Rutherford). Lo más importante, la electrodinámica clásica predice que un átomo descrito por un modelo planetario (clásico) sería inestable. Para explicar el rompecabezas, Bohr propuso lo que ahora se llama el modelo de Bohr del átomo en 1913. Sugirió que los electrones solo podrían tener ciertos movimientos clásicos:

 

 
1. Los electrones en los átomos orbitan el núcleo.

 

2. Los electrones solo pueden orbitar de manera estable, sin irradiar, en ciertas órbitas (llamadas por Bohr las “órbitas estacionarias”) en un cierto conjunto discreto de distancias desde el núcleo. Estas órbitas están asociadas con energías definidas y también se llaman capas de energía o niveles de energía. En estas órbitas, la aceleración del electrón no produce radiación y pérdida de energía como lo requiere la electrodinámica clásica.

 

3. Los electrones solo pueden ganar y perder energía saltando de una órbita permitida a otra, absorbiendo o emitiendo radiación electromagnética con una frecuencia [látex] nu [/ látex] determinada por la diferencia de energía de los niveles según la relación de Planck: [latex] Delta { text {E}} = text {E} _2- text {E} _1 = text {h} nu [/ latex], donde [latex] text {h} [/ latex] es la constante de Planck. Además, Bohr también asumió que el momento angular [latex] text {L} [/ latex] está restringido a ser un múltiplo entero de una unidad fija: [latex] text {L} = text {n} { text {h} over 2 pi} = text {n} hbar [/ latex], donde [latex] text {n} = 1, 2, 3, dots [/ latex] se denomina cuántico principal número y [latex] hbar = frac { text {h}} {2 pi} [/ latex].

 

 

Hemos visto que Planck adoptó una nueva condición de cuantificación de energía para explicar la radiación del cuerpo negro, donde introdujo la constante de Planck [latex] text {h} [/ latex] por primera vez. Poco después, Einstein recurrió a este nuevo concepto de cuantificación de energía y usó la constante de Planck nuevamente para explicar los efectos fotoeléctricos, en los cuales asumió que la radiación electromagnética interactúa con la materia como partículas (más tarde llamadas “fotones”). Aquí, Bohr explicó el espectro de hidrógeno atómico con éxito por primera vez adoptando una condición de cuantificación e introduciendo la constante de Planck en su modelo atómico. Durante el período de desarrollo radical a principios del siglo XX , los físicos comenzaron a darse cuenta de que era esencial introducir la noción de “cuantización” para explicar mundos microscópicos.

 

 

 

Órbitas de Bohr

 

Según Bohr, los electrones solo pueden orbitar de manera estable, en ciertas órbitas, a un cierto conjunto discreto de distancias desde el núcleo.

 

 

 

El físico danés Neils Bohr fue lo suficientemente inteligente como para descubrir un método para calcular las energías orbitales de los electrones en el hidrógeno. Como hemos visto en el módulo anterior “El modelo de átomo de Bohr”, Bohr asumió que los electrones solo pueden orbitar de manera estable, sin irradiar, en ciertas órbitas (llamadas por Bohr como “órbitas estacionarias”), en un cierto conjunto discreto de distancias desde el núcleo. Estas “órbitas de Bohr” tienen una característica muy importante de cuantización como se muestra a continuación. Este fue un primer paso importante que se ha mejorado, pero vale la pena repetirlo aquí, ya que describe correctamente muchas características del hidrógeno. Suponiendo órbitas circulares, Bohr propuso que el momento angular [latex] text {L} [/ latex] de un electrón en su órbita se cuantifica, es decir, tiene solo valores específicos y discretos. El valor para [latex] text {L} [/ latex] viene dado por la fórmula:

 

[látex] displaystyle text {L} = text {m} _ text {e} text {v} text {r} _ text {n} = text {n} { text {h} over 2 pi} = text {n} hbar [/ latex]

 

donde [latex] text {L} [/ latex] es el momento angular, [latex] text {m} _ text {e} [/ latex] es la masa del electrón, [latex] text { r} _ text {n} [/ latex] es el radio de la [órbita latex] text {n} [/ latex], y [latex] text {h} [/ latex] es la constante de Planck. Tenga en cuenta que el momento angular es [látex] text {L} = text {I} omega [/ latex]. Para un objeto pequeño en un radio [latex] text {r} [/ latex], [latex] text {I} = text {mr} ^ 2 [/ latex] y [latex] omega = frac { text {v}} { text {r}} [/ latex], de modo que:

 

[látex] displaystyle text {L} = ( text {mr} ^ 2) ( frac { text {v}} { text {r}}) = text {mvr} [/ latex ]

 

La cuantización dice que este valor de [latex] text {mvr} [/ latex] solo puede tener valores discretos. En ese momento, el propio Bohr no sabía por qué debería cuantificarse el momento angular, pero utilizando esta suposición fue capaz de calcular las energías en el espectro de hidrógeno, algo que nadie más había hecho en ese momento.

 

A continuación se muestra un diagrama de nivel de energía, que es una forma conveniente de mostrar estados de energía: los niveles de energía permitidos del electrón (en relación con nuestra discusión). La energía se traza verticalmente con el estado más bajo o fundamental en la parte inferior y con los estados excitados arriba. Dadas las energías de las líneas en un espectro atómico, es posible (aunque a veces muy difícil) determinar los niveles de energía de un átomo. Los diagramas de nivel de energía se utilizan para muchos sistemas, incluidas las moléculas y los núcleos. Una teoría del átomo o de cualquier otro sistema debe predecir sus energías en función de la física del sistema.

 

 

 

Energía de una órbita de Bohr

 

Basado en sus suposiciones, Bohr obtuvo varias propiedades importantes del átomo de hidrógeno de la física clásica.

 

 

 

From Bohr’s assumptions, we will now derive a number of important properties of the hydrogen atom from the classical physics. We start by noting the centripetal force causing the electron to follow a circular path is supplied by the Coulomb force. To be more general, we note that this analysis is valid for any single-electron atom. So, if a nucleus has [latex]text{Z}[/latex] protons ([latex]text{Z}=1[/latex] for hydrogen, [latex]text{Z}=2[/latex] for helium, etc.) and only one electron, that atom is called a hydrogen-like atom.

 

The spectra of hydrogen-like ions are similar to hydrogen, but shifted to higher energy by the greater attractive force between the electron and nucleus. The magnitude of the centripetal force is [latex]frac{text{m}_text{ev}^2}{text{r}_text{n}}[/latex], while the Coulomb force is [latex]frac{text{Zk}_text{e} text{e}^2}{text{r}^2}[/latex]. The tacit assumption here is that the nucleus is more massive than the stationary electron, and the electron orbits about it. This is consistent with the planetary model of the atom. Equating these:

 

[latex]displaystyle frac{text{m}_text{e} text{v}^2}{text{r}} = frac{text{Zk}_text{e} text{e}^2}{text{r}^2}[/latex]

 

This equation determines the electron’s speed at any radius:

 

[latex]displaystyle text{v} = frac{sqrt{text{Zk}_text{e} text{e}^2}}{text{m}_text{e} text{r}}[/latex]

 

It also determines the electron’s total energy at any radius:

 

[latex]displaystyle text{E}= frac{1}{2} text{m}_text{e} text{v}^2 – frac{text{Z} text{k}_text{e} text{e}^2}{text{r}} = – frac{text{Z} text{k}_text{e} text{e}^2}{2text{r}}[/latex]

 

The total energy is negative and inversely proportional to [latex]text{r}[/latex]. This means that it takes energy to pull the orbiting electron away from the proton. For infinite values of [latex]text{r}[/latex], the energy is zero, corresponding to a motionless electron infinitely far from the proton.

 

Now, here comes the Quantum rule: As we saw in the previous module, the angular momentum [latex]text{L} = text{m}_text{e} text{r} text{v}[/latex] is an integer multiple of [latex]hbar[/latex]:

 

[latex]text{m}_text{e} text{v} text{r} = text{n} hbar[/latex]

 

Substituting the expression in the equation for speed above gives an equation for [latex]text{r}[/latex] in terms of [latex]text{n}[/latex]:

 

[latex]sqrt{text{Zk}_text{e} text{e}^2 text{m}_text{e} text{r}} = text{n} hbar[/latex]

 

The allowed orbit radius at any n is then:

 

[latex]displaystyle text{r}_text{n} = {text{n}^2hbar^2over text{Zk}_text{e} text{e}^2 text{m}_text{e}}[/latex]

 

The smallest possible value of [latex]text{r}[/latex] in the hydrogen atom is called the Bohr radius and is equal to 0.053 nm. The energy of the [latex]text{n}[/latex]-th level for any atom is determined by the radius and quantum number:

 

[latex]displaystyle text{E} = -frac{text{Zk}_text{e} text{e}^2}{2text{r}_text{n} } = – frac{ text{Z}^2(text{k}_text{e} text{e}^2)^2 text{m}_text{e} }{2hbar^2 text{n}^2} approx frac{-13.6text{Z}^2}{text{n}^2}mathrm{text{eV}}[/latex]

 

Using this equation, the energy of a photon emitted by a hydrogen atom is given by the difference of two hydrogen energy levels:

 

[latex]displaystyle text{E}=text{E}_text{i}-text{E}_text{f}=text{R} left( frac{1}{text{n}_{text{f}}^2} – frac{1}{text{n}_{text{i}}^2} right)[/latex]

 

Which is the Rydberg formula describing all the hydrogen spectrum and [latex]text{R}[/latex] is the Rydberg constant. Bohr’s model predicted experimental hydrogen spectrum extremely well.

 

 

 

Hydrogen Spectra

 

The observed hydrogen-spectrum wavelengths can be calculated using the following formula: [latex]frac{1}{lambda} = text{R}(frac{1}{text{n}_text{f} ^2} – frac{1}{text{n}_text{i} ^2})[/latex].

 

 

 

For decades, many questions had been asked about atomic characteristics. From their sizes to their spectra, much was known about atoms, but little had been explained in terms of the laws of physics. Atomic and molecular emission and absorption spectra have been known for over a century to be discrete (or quantized). Maxwell and others had realized that there must be a connection between the spectrum of an atom and its structure, something like the resonant frequencies of musical instruments. But, despite years of efforts by many great minds, no one had a workable theory. (It was a running joke that any theory of atomic and molecular spectra could be destroyed by throwing a book of data at it, so complex were the spectra.) Following Einstein’s proposal of photons with quantized energies directly proportional to their wavelengths, it became even more evident that electrons in atoms can exist only in discrete orbits.

 

In some cases, it had been possible to devise formulas that described the emission spectra. As you might expect, the simplest atom—hydrogen, with its single electron—has a relatively simple spectrum. The hydrogen spectrum had been observed in the infrared (IR), visible, and ultraviolet (UV), and several series of spectral lines had been observed. The observed hydrogen-spectrum wavelengths can be calculated using the following formula:

 

[latex]displaystyle frac{1}{lambda} = text{R}(frac{1}{text{n}_text{f} ^2} – frac{1}{text{n}_text{i} ^2})[/latex]

 

where [latex]lambda[/latex] is the wavelength of the emitted EM radiation and [latex]text{R}[/latex] is the Rydberg constant, determined by the experiment to be [latex]text{R}=1.097cdot 10^7 text{text{m}}^{-1}[/latex], and [latex]text{n}_text{f}[/latex], [latex]text{n}_text{i}[/latex] are positive integers associated with a specific series.

 

These series are named after early researchers who studied them in particular depth. For the Lyman series, [latex]text{n}_text{f} = 1[/latex] for the Balmer series, [latex]text{n}_text{f} = 2[/latex]; for the Paschen series, [latex]text{n}_text{f} = 3[/latex]; y así. The Lyman series is entirely in the UV, while part of the Balmer series is visible with the remainder UV. The Paschen series and all the rest are entirely IR. There are apparently an unlimited number of series, although they lie progressively farther into the infrared and become difficult to observe as [latex]text{n}_text{f}[/latex] increases. The constant [latex]text{n}_text{i}[/latex] is a positive integer, but it must be greater than [latex]text{n}_text{f}[/latex]. Thus, for the Balmer series, [latex]text{n}_text{f} = 2[/latex] and [latex]text{n}_text{i} = 3,4,5,6…[/latex]. Note that [latex]text{n}_text{i}[/latex] can approach infinity.

 

 

While the formula in the wavelengths equation was just a recipe designed to fit data and was not based on physical principles, it did imply a deeper meaning. Balmer first devised the formula for his series alone, and it was later found to describe all the other series by using different values of [latex]text{n}_text{f}[/latex]. Bohr was the first to comprehend the deeper meaning. Again, we see the interplay between experiment and theory in physics. Experimentally, the spectra were well established, an equation was found to fit the experimental data, but the theoretical foundation was missing.

 

 

de Broglie and the Bohr Model

 

By assuming that the electron is described by a wave and a whole number of wavelengths must fit, we derive Bohr’s quantization assumption.

 

 

 

Bohr’s condition, that the angular momentum is an integer multiple of [latex]hbar[/latex], was later reinterpreted in 1924 by de Broglie as a standing wave condition. The wave-like properties of matter were subsequently confirmed by observations of electron interference when scattered from crystals. Electrons can exist only in locations where they interfere constructively. How does this affect electrons in atomic orbits? When an electron is bound to an atom, its wavelength must fit into a small space, something like a standing wave on a string.

 

 

Allowed orbits are those in which an electron constructively interferes with itself. Not all orbits produce constructive interference and thus only certain orbits are allowed (i.e., the orbits are quantized). By assuming that the electron is described by a wave and a whole number of wavelengths must fit along the circumference of the electron’s orbit, we have the equation:

 

[latex]text{n}lambda =2pi text{r}[/latex]

 

Substituting de Broglie’s wavelength of [latex]frac{text{h}}{text{p}}[/latex] reproduces Bohr’s rule. Since [latex]lambda = text{h}/text{m}_text{ev}[/latex], we now have:

 

[latex]displaystyle frac{text{nh}}{text{m}_text{ev}} = 2pi text{r}_text{n}[/latex]

 

Rearranging terms, and noting that [latex]text{L}=text{mvr}[/latex] for a circular orbit, we obtain the quantization of angular momentum as the condition for allowed orbits:

 

[latex]displaystyle text{L} = text{m}_text{e} text{v} text{r}_text{n} = text{n} frac{text{h}}{2pi}, (text{n}=1,2,3…)[/latex]

 

As previously stated, Bohr was forced to hypothesize this rule for allowed orbits. We now realize this as the condition for constructive interference of an electron in a circular orbit.

 

Accordingly, a new kind of mechanics, quantum mechanics, was proposed in 1925. Bohr’s model of electrons traveling in quantized orbits was extended into a more accurate model of electron motion. The new theory was proposed by Werner Heisenberg. By different reasoning, another form of the same theory, wave mechanics, was discovered independently by Austrian physicist Erwin Schrödinger. Schrödinger employed de Broglie’s matter waves, but instead sought wave solutions of a three-dimensional wave equation. This described electrons that were constrained to move about the nucleus of a hydrogen-like atom by being trapped by the potential of the positive nuclear charge.

 

 

 

X-Rays and the Compton Effect

 

Compton explained the X-ray frequency shift during the X-ray/electron scattering by attributing particle-like momentum to “photons”.

 

 

 

By the early 20th century, research into the interaction of X-rays with matter was well underway. It was observed that when X-rays of a known wavelength interact with atoms, the X-rays are scattered through an angle [latex]theta[/latex] and emerge at a different wavelength related to [latex]theta[/latex]. Although classical electromagnetism predicted that the wavelength of scattered rays should be equal to the initial wavelength, multiple experiments had found that the wavelength of the scattered rays was longer (corresponding to lower energy) than the initial wavelength.

 

In 1923, Compton published a paper in the Physical Review which explained the X-ray shift by attributing particle-like momentum to “photons,” which Einstein had invoked in his Nobel prize winning explanation of the photoelectric effect. First postulated by Planck, these “particles” conceptualized “quantized” elements of light as containing a specific amount of energy depending only on the frequency of the light. In his paper, Compton derived the mathematical relationship between the shift in wavelength and the scattering angle of the X-rays by assuming that each scattered X-ray photon interacted with only one electron. His paper concludes by reporting on experiments which verified his derived relation:

 

[latex]displaystyle lambda’ – lambda = frac{text{h}}{text{m}_text{e} text{c}}(1-cos{theta})[/latex]

 

where λlambda is the initial wavelength, λ′lambda’ is the wavelength after scattering, [latex]text{h}[/latex] is the Planck constant, mem_e is the Electron rest mass, [latex]text{c}[/latex] is the speed of light, and θtheta is the scattering angle. The quantity hmecfrac{h}{m_e c} is known as the Compton wavelength of the electron; it is equal to [latex]2.43cdot 10^{-12}[/latex] m. The wavelength shift [latex]lambda ‘ – lambda[/latex] is at least zero (for [latex]theta = 0[/latex]°) and at most twice the Compton wavelength of the electron (for [latex]theta = 180[/latex]°). (The derivation of Compton’s formula is a bit lengthy and will not be covered here.)

 

 

Because the mass-energy and momentum of a system must both be conserved, it is not generally possible for the electron simply to move in the direction of the incident photon. The interaction between electrons and high energy photons (comparable to the rest energy of the electron, 511 keV) results in the electron being given part of the energy (making it recoil), and a photon containing the remaining energy being emitted in a different direction from the original, so that the overall momentum of the system is conserved. If the scattered photon still has enough energy left, the Compton scattering process may be repeated. In this scenario, the electron is treated as free or loosely bound. Photons with an energy of this order of magnitude are in the x-ray range of the electromagnetic radiation spectrum. Therefore, you can say that Compton effects (with electrons) occur with x-ray photons.

 

If the photon is of lower energy, but still has sufficient energy (in general a few eV to a few keV, corresponding to visible light through soft X-rays), it can eject an electron from its host atom entirely (a process known as the photoelectric effect), instead of undergoing Compton scattering. Higher energy photons (1.022 MeV and above, in the gamma ray range) may be able to bombard the nucleus and cause an electron and a positron to be formed, a process called pair production.

 

 

X-Ray Spectra: Origins, Diffraction by Crystals, and Importance

 

X-ray shows its wave nature when radiated upon atomic/molecular structures and can be used to study them.

 

 

 

In a previous Atom on X-rays, we have seen that there are two processes by which x-rays are produced in the anode of an x-ray tube. In one process, the deceleration of electrons produces x-rays, and these x-rays are called Bremsstrahlung , or braking radiation. The second process is atomic in nature and produces characteristic x-rays, so called because they are characteristic of the anode material. The x-ray spectrum in is typical of what is produced by an x-ray tube, showing a broad curve of Bremsstrahlung radiation with characteristic x-ray peaks on it.

 

 

Since x-ray photons are very energetic, they have relatively short wavelengths. For example, the 54.4-keV Kα x-ray, for example, has a wavelength [latex]lambda = frac{text{hc}}{text{E}} = 0.0228[/latex] nm. Thus, typical x-ray photons act like rays when they encounter macroscopic objects, like teeth, and produce sharp shadows. However, since atoms and atomic structures have a typical size on the order of 0.1 nm, x-ray shows its wave nature with them. The process is called x-ray diffraction because it involves the diffraction and interference of x-rays to produce patterns that can be analyzed for information about the structures that scattered the x-rays.

 

Shown below, Bragg’s Law gives the angles for coherent and incoherent scattering of light from a crystal lattice, which happens during x-ray diffraction. When x-ray are incident on an atom, they make the electronic cloud move as an electromagnetic wave. The movement of these charges re-radiate waves with the same frequency. This is called Rayleigh Scattering, which you should remember from a previous atom. A similar thing happens when neutron waves from the nuclei scatter from interaction with an unpaired electron. These re-emitted wave fields interfere with each other either constructively or destructively, and produce a diffraction pattern that is captured by a sensor or film. This is called the Braggs diffraction, and is the basis for x-ray diffraction.

 

 

Perhaps the most famous example of x-ray diffraction is the discovery of the double-helix structure of DNA in 1953. Using x-ray diffraction data, researchers were able to discern the structure of DNA shows a diffraction pattern produced by the scattering of x-rays from a crystal of protein. This process is known as x-ray crystallography because of the information it can yield about crystal structure. Not only do x-rays confirm the size and shape of atoms, they also give information on the atomic arrangements in materials. For example, current research in high-temperature superconductors involves complex materials whose lattice arrangements are crucial to obtaining a superconducting material. These can be studied using x-ray crystallography.

 

 

 

The Compton Effect

 

The Compton Effect is the phenomenon of the decrease in energy of photon when scattered by a free charged particle.

 

 

 

Compton scattering is an inelastic scattering of a photon by a free charged particle (usually an electron). It results in a decrease in energy (increase in wavelength) of the photon (which may be an X-ray or gamma ray photon), called the Compton Effect. Part of the energy of the photon is transferred to the scattering electron. Inverse Compton scattering also exists, and happens when a charged particle transfers part of its energy to a photon.

 

 

Compton scattering is an example of inelastic scattering because the wavelength of the scattered light is different from the incident radiation. Still, the origin of the effect can be considered as an elastic collision between a photon and an electron. The amount of change in the wavelength is called the Compton shift. Although nuclear Compton scattering exists, Compton scattering usually refers to the interaction involving only the electrons of an atom.

 

The Compton effect is important because it demonstrates that light cannot be explained purely as a wave phenomenon. Thomson scattering, the classical theory of an electromagnetic wave scattered by charged particles, cannot explain low intensity shifts in wavelength: classically, light of sufficient intensity for the electric field to accelerate a charged particle to a relativistic speed will cause radiation-pressure recoil and an associated Doppler shift of the scattered light. However, the effect will become arbitrarily small at sufficiently low light intensities regardless of wavelength. Light must behave as if it consists of particles to explain the low-intensity Compton scattering. Compton’s experiment convinced physicists that light can behave as a stream of particle-like objects (quanta) whose energy is proportional to the frequency.