El método de análisis de voltaje de nodo resuelve voltajes desconocidos en los nodos del circuito en términos de un sistema de ecuaciones KCL . Este análisis parece extraño porque implica reemplazar las fuentes de voltaje con fuentes de corriente equivalentes. Además, los valores de resistencia en ohmios se reemplazan por conductancias equivalentes en siemens, G = 1 / R. El siemens (S) es la unidad de conductancia , habiendo reemplazado la unidad mho. En cualquier caso S = Ω-1. Y S = mho (obsoleto).
Método para el cálculo de voltaje de nodo
Comenzamos con un circuito que tiene fuentes de voltaje convencionales. Un nodo común E 0 se elige como punto de referencia. Los voltajes de nodo E 1 y E 2 se calculan con respecto a este punto.
Reemplazo de fuentes de voltaje y resistencias en serie asociadas con fuentes de corriente equivalentes y resistencias paralelas produce el circuito modificado. Sustituya las conductancias de resistencia en siemens por resistencia en ohmios.
I1 = E1 / R1 = 10/2 = 5 A I2 = E2 / R5 = 4/1 = 4 A G1 = 1 / R1 = 1/2 Ω = 0.5 S G2 = 1 / R2 = 1/4 Ω = 0.25 S G3 = 1 / R3 = 1 / 2.5 Ω = 0.4 S G4 = 1 / R4 = 1/5 Ω = 0.2 S G5 = 1 / R5 = 1/1 Ω = 1.0 S
Las conductancias paralelas (resistencias) pueden combinarse mediante la adición de las conductancias. Sin embargo, no volveremos a dibujar el circuito. El circuito está listo para la aplicación del método de voltaje de nodo.
GA = G1 + G2 = 0.5 S + 0.25 S = 0.75 S GB = G4 + G5 = 0.2 S + 1 S = 1.2 S
Derivando un método de voltaje de nodo general, escribimos un par de ecuaciones KCL en términos de voltajes de nodo desconocidos V 1 y V 2 esta vez. Hacemos esto para ilustrar un patrón para escribir ecuaciones por inspección.
GAE1 + G3 (E1 - E2) = I1 (1) GBE2 - G3 (E1 - E2) = I2 (2) (GA + G3) E1 -G3E2 = I1 (1) -G3E1 + (GB + G3) E2 = I2 (2)
Los coeficientes del último par de ecuaciones anteriores se han reorganizado para mostrar un patrón. La suma de conductancias conectadas al primer nodo es el coeficiente positivo del primer voltaje en la ecuación (1). La suma de las conductancias conectadas al segundo nodo es el coeficiente positivo del segundo voltaje en la ecuación (2). Los otros coeficientes son negativos y representan conductancias entre nodos. Para ambas ecuaciones, el lado derecho es igual a la fuente de corriente respectiva conectada al nodo. Este patrón nos permite escribir rápidamente las ecuaciones por inspección. Esto lleva a un conjunto de reglas para el método de análisis de voltaje de nodo.
Reglas de voltaje de nodo:
- Convierta las fuentes de voltaje en serie con una resistencia en una fuente de corriente equivalente con la resistencia en paralelo.
- Cambie los valores de resistencia a conductancias.
- Seleccione un nodo de referencia (E 0 )
- Asigne voltajes desconocidos (E 1 ) (E 2 ) … (E N ) a los nodos restantes.
- Escriba una ecuación KCL para cada nodo 1,2, … N. El coeficiente positivo del primer voltaje en la primera ecuación es la suma de las conductancias conectadas al nodo. El coeficiente para el segundo voltaje en la segunda ecuación es la suma de conductancias conectadas a ese nodo. Repita para el coeficiente de tercer voltaje, tercera ecuación y otras ecuaciones. Estos coeficientes caen en una diagonal.
- Todos los demás coeficientes para todas las ecuaciones son negativos y representan conductancias entre nodos. La primera ecuación, el segundo coeficiente es la conductancia del nodo 1 al nodo 2, el tercer coeficiente es la conductancia del nodo 1 al nodo 3. Complete los coeficientes negativos para otras ecuaciones.
- El lado derecho de las ecuaciones es la fuente de corriente conectada a los respectivos nodos.
- Resuelva el sistema de ecuaciones para voltajes de nodos desconocidos.
Ejemplo de método de voltaje de nodo
Ejemplo: Establezca las ecuaciones y resuelva los voltajes de los nodos utilizando los valores numéricos de la figura anterior.
Solución:
(0.5 + 0.25 + 0.4) E1 - (0.4) E2 = 5 - (0.4) E1 + (0.4 + 0.2 + 1.0) E2 = -4 (1.15) E1 - (0.4) E2 = 5 - (0.4) E1 + (1.6) E2 = -4 E1 = 3.8095 E2 = -1.5476
La solución de dos ecuaciones se puede realizar con una calculadora o con una octava (no se muestra). La solución se verifica con SPICE basándose en el diagrama esquemático original con fuentes de voltaje. Sin embargo, el circuito con las fuentes actuales podría haberse simulado.
V1 11 0 DC 10 V2 22 0 DC -4 r1 11 1 2 r2 1 0 4 r3 1 2 2.5 r4 2 0 5 r5 2 22 1 .DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1 .print DC V (1) V (2) .final v (1) v (2) 3.809524e + 00 -1.547619e + 00
Un ejemplo más. Este tiene tres nodos. No enumeramos las conductancias en el diagrama esquemático. Sin embargo, G 1 = 1 / R 1 , etc.
Hay tres nodos para escribir ecuaciones por inspección. Tenga en cuenta que los coeficientes son positivos para la ecuación (1) E 1 , la ecuación (2) E 2 y la ecuación (3) E 3 . Estas son las sumas de todas las conductancias conectadas a los nodos. Todos los demás coeficientes son negativos y representan una conductancia entre nodos. El lado derecho de las ecuaciones es la fuente de corriente asociada, 0.136092 A para la única fuente de corriente en el nodo 1. Las otras ecuaciones son cero en el lado derecho por falta de fuentes de corriente. Somos demasiado vagos para calcular las conductancias para las resistencias en el diagrama. Por lo tanto, los G suscritos son los coeficientes.
(G1 + G2) E1 -G1E2 -G2E3 = 0.136092 -G1E1 + (G1 + G3 + G4) E2 -G3E3 = 0 -G2E1 -G3E2 + (G2 + G3 + G5) E3 = 0
Somos tan vagos que ingresamos resistencias recíprocas y sumas de resistencias recíprocas en la matriz de octava “A”, dejando que la octava calcule la matriz de conductancias después de “A =”. La línea de entrada inicial fue tan larga que se dividió en tres filas. Esto es diferente a los ejemplos anteriores. La matriz “A” ingresada se delimita al comenzar y terminar con corchetes. Los elementos de columna están separados por espacios. Las filas están separadas por una “nueva línea”. No se necesitan comas ni punto y coma como separadores. Sin embargo, el vector actual en “b” está separado por punto y coma para producir un vector de columna de corrientes.
octava: 12> A = [1/150 + 1/50 -1/150 -1/50 > -1/150 1/150 + 1/100 + 1/300 -1/100 > -1/50 -1/100 1/50 + 1/100 + 1/250] A = 0.0266667 -0.0066667 -0.0200000 -0.0066667 0.0200000 -0.0100000 -0.0200000 -0.0100000 0.0340000 octava: 13> b = [0.136092; 0; 0] b = 0.13609 0.00000 0.00000 octava: 14> x = A b x = 24.000 17,655 19,310
Tenga en cuenta que los coeficientes diagonales de la matriz “A” son positivos, que todos los demás coeficientes son negativos.
La solución como un vector de voltaje está en “x”. E 1 = 24,000 V, E 2 = 17,655 V, E 3 = 19,310 V. Estos tres voltajes se comparan con la corriente de malla anterior y las soluciones SPICE para problema de puente no balanceado. Esto no es una coincidencia, ya que la fuente de corriente 0.13609 A fue elegida a propósito para producir los 24 V utilizados como fuente de voltaje en ese problema.
Resumen
- Dada una red de conductancias y fuentes de corriente, el método de análisis de circuito de voltaje de nodo resuelve voltajes de nodo desconocidos a partir de ecuaciones KCL.
- Consulte las reglas anteriores para obtener detalles al escribir las ecuaciones por inspección.
- La unidad de conductancia G es el siemens S. La conductancia es el recíproco de resistencia: G = 1 / R
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